如图,ABCD是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中点.PO=2,AB=2求证:(1)PA∥平面BDE(2)平面PAC⊥平面BDE(3)求二面角E-BD-A的大小.
解:证明(1)∵O是AC的中点,E是PC的中点,∴OE∥AP,
又∵OE?平面BDE,PA?平面BDE,∴PA∥平面BDE
(2)∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥BD,
又∵AC⊥BD,且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC,
而BD?平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE.
(3)由(2)可知BD⊥平面PAC,∴BD⊥OE,BD⊥OC,
∠EOC是二面角E-BD-C的平面角
(∠EOA是二面角E-BD-A的平面角)
在RT△POC中,可求得OC=
,PC=2
在△EOC中,OC=
,CE=1,OE=
PA=1
∴∠EOC=45°∴∠EOA=135°,即二面角E-BD-A大小为135°.
又∵OE?平面BDE,PA?平面BDE,∴PA∥平面BDE
(2)∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥BD,
又∵AC⊥BD,且AC∩PO=O∴BD⊥平面PAC,
而BD?平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE.
(3)由(2)可知BD⊥平面PAC,∴BD⊥OE,BD⊥OC,
∠EOC是二面角E-BD-C的平面角
(∠EOA是二面角E-BD-A的平面角)
在RT△POC中,可求得OC=
2 |
在△EOC中,OC=
2 |
1 |
2 |
∴∠EOC=45°∴∠EOA=135°,即二面角E-BD-A大小为135°.
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