数学里的“派” 是有理数还是无理数？

圆周率π是无理数。证明如下：

假设π是有理数，则π=a/b，（a,b为自然数）

令f(x)=(x^n)[(a-bx)^n]/(n!)

若0<x<a/b,则

0<f(x)<(π^n)(a^n)/(n!)

0<sinx<1

以上两式相乘得：

0<f(x)sinx<(π^n)(a^n)/(n!)

当n充分大时，,在[0，π]区间上的积分有

0<∫f(x)sinxdx <[π^(n+1)](a^n)/(n!)<1 …………（1）

又令：F(x)=f(x)-f"(x)+[f(x)]^(4)-…+[(-1)^n][f(x)]^(2n),(表示偶数阶导数)

由于n!f(x)是x的整系数多项式，且各项的次数都不小于n，故f(x)及其各阶导数在x=0点处的值也都是整数，因此，F(x)和F(π)也都是整数。

又因为

d[F'(x)sinx-F(x)conx]/dx

=F"(x)sinx+F'(x)cosx-F'(x)cosx+F(x)sinx

=F"(x)sinx+F(x)sinx

=f(x)sinx

所以有：

∫f(x)sinxdx=[F'(x)sinx-F(x)cosx]，（此处上限为π，下限为0）

=F(π)+F(0)

上式表示∫f(x)sinxdx在[0，π]区间上的积分为整数，这与（1）式矛盾。所以π不是有理数，又它是实数，故π是无理数。

扩展资料

圆周率（Pi）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学里，π可以严格地定义为满足sin x = 0的最小正实数x。

圆周率用希腊字母 π（读作pài）表示，是一个常数（约等于3.141592654），是代表圆周长和直径的比值。它是一个无理数，即无限不循环小数。在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算。而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算。即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百个位。

1965年，英国数学家约翰·沃利斯（John Wallis）出版了一本数学专著，其中他推导出一个公式，发现圆周率等于无穷个分数相乘的积。2015年，罗切斯特大学的科学家们在氢原子能级的量子力学计算中发现了圆周率相同的公式。

参考资料：百度百科——圆周率