如何计算根号i?

在复数的奇妙世界中，想要理解 根号i</ 的计算方法，我们需要探索其背后的复数理论。首先，让我们明确一个关键概念：对于复数 z，其幅角 θ（也称为arg(z)）是我们关注的重点。根据复数的极坐标形式，z = r(cosθ + i·sinθ)</，其中 r 是复数的模，θ是其与实轴的夹角。

当我们面对 √i</ 这一问题时，实际上是在寻找一个复数，其平方等于 i。这一步需要利用到复数的乘法和幂运算。我们可以将 √i</ 写为 eiπ/4，因为 i 的平方就是 -1，而 45° 角（即 π/4 弧度）的正弦和余弦值恰好是 1/sqrt(2) 和 1/sqrt(2)，满足 eiπ/4 的性质。

关键一步在于利用欧拉公式，它揭示了复数和三角函数的紧密联系：eiθ = cosθ + i·sinθ</。当我们应用到 √i</ 上，我们有：

√i = ei(π/4) = cos(π/4) + i·sin(π/4)</

这里，cos(π/4) 和 sin(π/4) 的值都是 1/sqrt(2)，因此，√i</ 可以表示为 (1/sqrt(2)) + i·(1/sqrt(2))，也就是通常写成的 (1+i)/sqrt(2) 或者 (√2)/2 + (√2)/2i。

通过这个计算，我们揭示了根号i的复数形式，它不仅是一个复数，而且是实部和虚部都为 1/sqrt(2) 的完美组合。理解这个计算方法不仅有助于我们处理复数运算，还能够深化我们对复数理论的理解。