A.2。 B.2.5。 C.3。
音律与律音
音乐艺术中所采用的高低不同的音，不是随便而取的，是根据某种规律和方法来确定的。我们常说这个音准了，那个音不准，实际上是针对某种律制而言的。如说钢琴上的某个音不准，是指它偏离了以a1为440Hz的十二平均律。如果有人把两条琴弦(且不考虑是什么乐器的弦)的五度关系调得纯净无拍，那它是准了还是不准呢?这要看其依据的是什么律制了。若是五度相生律或纯律，这个五度是准了；若是十二平均律，那一定是把上面的那个音调高了，或是把下面的那个音调低了。因此我们说，离开了定律法，音的准确与否就无从谈起。
我们平时所说的“音律”，当是指律制，即定律的制度、生律的方法，有时亦指高度上做精密规定的一系列音。而“律音”，则是专指高度上做精密规定的音或一系列音，也可说是指特定音律的音或一系列音。
一种定律法的提出，是人类观察自然现象、认识自然规律(如对发音体尺度、发音高度及泛音列等的观察和认识)，并创造性和有选择地运用这些规律的结果。
形形色色的律制
古今中外研究音律的人有很多，提出的定律法也不少。
在我国，春秋时期的文献《管子·地员篇》(相传齐国人管仲所作)中，有关于“三分损益法”的阐述。这是一篇研究土壤学的文论，它把音高与井深、植物生长相联系。其中有一段讲到：
“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九(按：即1×34＝9×9＝81)，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分以益之以一，为百有八(按：即81 ×4／3＝108)，为徵。不无(?)有三分而去其乘(按：即108×2／3＝72)，适足以是生商。有三分而复于其所(按：即72×4／3＝96)，以是生羽。有三分去其乘(按：即96×2／3＝64)，适足以是成角。”★[z1]
这段话讲的是三分损益法生律的规律与顺序。其数据是指振动体长度，其比例与现今所言的频率比是相反的
之后的《吕氏春秋·音律篇》(约公元前3世纪)，把三分损益法所生之律音增加到12个。
由于三分损益法生到第12律时，不能回到始发之律，十二律不能“周而复始、旋相为宫”，故而汉代的京房(公元前77—公元前37)提出“六十律”。即按三分损益法生至12律后仍继续生下去，直至生到第54律，才与始发之律极接近。这种“六十律”因律数太多，没什么实用价值。
南北朝时，何承天(370—447)提出一种新律。他是把三分损益法生律12次所积累的不能回到始发律的(长度)偏差，均分后加到每次的生律之中。这种新律从效果上看较为接近十二平均律。若从科学、严谨的视角来观察，它还不能算是十二平均律，只能看做是为“十二旋宫，声韵无失”而采取的修补性权宜之举。
到了明朝，朱载堉(1536—16107)提出了科学的十二平均律理论，称为“密率”。从其《律学新说》中有万历十二年(1584年)之序文看，朱载靖完成十二平均律理论的时间当在1584年之前。
在欧洲，公元前6世纪时，古希腊毕达哥拉斯提出五度相生律。
15—17世纪，是欧洲律学史上的“纯律”时期。许多学者为推进纯律的应用做了大量的研究与实验。查里诺于1571年提出“四分之一音差中庸全音律”这种律的全音只有一种(把纯律的大全音与小全音折中)，构成的大音阶比纯律简单，而其各种音程的谐和性或是接近纯律，或是同于纯律，且能适应一定范围的转调，因此在较长一段时期内为键盘乐器所采用。
十二平均律的研究，在欧洲16世纪起也不断有成果推出。资料表明：1577年西班牙的萨里那斯(Salinas)、1588年意大利的查里诺(C.Zarlino)、1596年斯台文(S.Stevin)、1636年法国的梅森(Mersenne)、1691年德国的威克迈斯特(A.Werckmeister)等相继发表了十二平均律。
此外，阿拉伯的四分之三音体系(四度相生)，印度的二十二律，东南亚地区的五平均律、七平均律、九平均律、十平均律(通过音程宽度的增减而趋于平均，非严格的平均)等等，也都是有一定应用范围并为音乐家所重视和研究的律制。
五度相生律
五度相生律是以谐音系列中的第二、第三谐音之音程关系作为生律的基础，亦即以频率比为3／2的纯五度连续生律，并把所生各律转位到一个八度范围之内，形成一组音。
由某一音起，向上连取五律、向下取一律，可构成大音阶。以C大调为例：
首先，设定第1级音(主音)为c1，其频率比值为1，高八度c2的频率比值为2；
然后，由c1上行一个五度级取g1；
由c1上行两个五度级取d2，降低一个八度至d1；
由c1上行三个五度级取a2，降低一个八度至a1；
由c1上行四个五度级取e3，降低二个八度至e1；
由c1上行五个五度级取b2，降低二个八度至b1；
最后再由c1下行一个五度级取f，升高一个八度至f1。
至此，五度相生律C调大音阶的各级音就完全生律成了
现在我们运用前面已经学过的音程计算法及音分计算法，求出五度相生律大音阶各音与主音之间的频率比与音分数，以及各相邻音间之频率比与音分数，如下图示。
由图不难看出五度相生律大音阶的邻音间只有两种音程：一是全音，频率比为9／8，包含204音分，称为“大全音”；二是半音，频率比256／243，包含90音分，称为“小半音”。两个小半音相加小于一个大全音(90＋90<204，差24音分)。
(五度相生律小音阶是由某音起向上连取二律、向下连取四律而构成。此不赘述。)
由于五度相生律以频率比为3／2的第二、第三谐音之音程关系为生律基础，每上行或下行一个五度级音程宽度都是702音分(准确的数值是701.96音分，为计算方便通常取整数)，连续上行或下行12次，不能回到始发之律：
上生：c→g→d→a→e→b→#f→#c→#g→#d→#a→#e→#b
这里，#b不等c，而是比高2×12=24音分。
下生：bbd←bba←bbe←bbb←bf←bc←bg←bd←ba←be←bb←f←c
这里，bbd不等于c，而是比c低2×12=24音分。
如果我们在生律12次之后，再继续生下去，情况仍是一样，每生一律多2个音分，每生12次又多出24音分。如此不断地生下去，永远也回不到始发之律，只能逼近始发之律。我国汉代的京房，曾按三分损益之法(此法在效果上与五度相生法趋于一致)推算到第60律，连续生律53次所产生的第54律己与始发之律很接近(约差3.5音分)。今之赵宋光先生通过计算指出：生律665次所得之律，它与始发律的音差缩小到0.0756音分。
五度相生律的这一特点，为周而复始、循环转调设下了障碍。
下面看一下五度相生律各调的转换情况。基本乐理告诉我们，由C大调开始，每转一个近关系五度调，就要改变一个音，从整体用律的角度讲也就是增加了一个
音。如下：
升种调：
G大调增加一个#f音；
D大调又多增加一个#c音；
A大调又多增加一个#g音；
E大调又多增加一个#d音；
B大调又多增加一个#a音；
#F大调又多增加一个#e音；
降种调：
F大调增加一个bb音；
bB大调又多增加一个be音；
bE大调又多增加一个ba音；
bA大调又多增加一个bd音；
bD大调又多增加一个bg音；
bC大调又多增加一个bc音。
……
问题是，这里升种调中的#c、#d、#f、#g、#a音并不等于降种调中的bd、be、bg、ba、bb音，而且#e音也不等于f音。这是因为它们都彼此相隔12个五度级，故而均相差24个音分。这个差数在律学中称为“最大音差”。
另外，你可能已经发现，五度相生律的大全音之内均存在两个高度不同的升降音，如c—d音间有#c和bd，d－e音间有#d和be，等等。由于#c高于bd、#d高于be，所以c－#c、d－#d构成大半音，c－bd、d－be构成小半音，大半音比小半音宽一个最大音差。
说到这里，我们就不难想象，对五度相生律来说，随着调高的不断转换，所用到的音会越来越多。
纯 律
纯律是以谐音系列中的第二、第三谐音，再加上第五谐音所构成的音程作为生律的基础。亦即以频率比为3／2的纯五度及频率比为5／4的大三度及频率比为6／5的小三度来生成大小音阶中的各音。具体方法是(以C大调为例)：
先由第1级音c上行一个五度级取g音，上行两个五度级取d音，由c下行一个五度级取f音(即f→c→g→d)；然后在c—g、f—c、g—d三个五度间分别插入一个频率比为5／4的大三度音e、a和b(这三个音均比五度相生律的同名音低，故音名下面加一横线以示区别)。
这样，不但构成了C大调的主和弦、属和弦及下属和弦，而且音阶中的各级音也齐全了。
由下图看出纯律大音阶的特点是：邻音间的关系比五度相生律复杂，全音有大小两种(大全音为204音分，小全音为182音分)，半音为大半音(112音分)，两个大半音相加既大于小全音也大于大全音。
纯律大音阶中的第Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ级音，比五度相生律的对应音均低22音分(在律学中称此音差为“普通音差”)。这是由于它们的生律方法不同而造成。这里需要特别指出：正是由于纯律采用这种更符合于自然(泛音列)规律之生律方法，各音与主音的频率呈简单整数比，三、六度音程及主、属、下属三个和弦更协和，故又有“纯正律”、“自然律”之称(上图)。 纯律小音阶仿照大音阶的构成方式，而在三个纯五度之间分别插入频率比为6／5(第五与第六谐音之频率比)的小三度。因这种小三度比五度相生律小三度宽一个普通音差(22音分)，故在音名的上方加一横线以示区别。
从下图★[z2] 可看出纯律C大调、c小调音阶所用的各音。
如转入C大调和g小调，很明显，就需要增加a、#f、f三个音；如进而转入D大调与d小调时，又要增加三律。也就是说，随着调的不断转换，律数不但会在横向而且会在纵向上无限扩张，从而形成一个大的纯律音系网★[z3] (见下图)。
纯律在应用上着实存在令人头痛的问题，特别在键盘乐器上应用是如此。
十二平均律
多少年来，人们为了解决五度相生律、纯律转调不便的问题，进行了许多探索、研究与实验，但终未取得满意的结果。这就促使人们去着眼于新的途径、新的制律方法。也正是在这种情况下，于16世纪十二平均律诞生了。
十二平均律是一种等程律，它把一个八度均分为12个宽度(频率比)完全一样的半音音程。一个半音的频率比值为
，约等于1.059461。大二度的频率比值为（
)的平方，约等于1.122462。小三度的频率比值为（
)的立方，约等于1.189207……也就是说：2个半音相加为一个全音(大二度)；3个半音相加为小三度；4个半音相加为大三度……。显然，十二平均律的音阶构成，邻音间的关系，比纯律、五度相生律都更趋简练。
十二平均律半音阶生成及关系见下图。
十二平均律有如下特点：
(1)一个八度包含12个等程半音，其他各种音程都是由若干个半音相加而成。
(2)在乐器上采用，音位设置简单，自然半音与变化半音同音异名，只需设12个半音音位便能应付各种大小调的循环转换。
(3)音程的协和性不及纯律，但这种音程上的偏离“纯”的状况远未达到改变音程性质的地步，实践证明人的耳朵对其是能够适应和接受的。
应当说，十二平均律的出现与应用，表明了音乐艺术及其理论研究的发展与进步。
运用律学知识指导调律实践
钢琴调律者学习律学知识，目的在于了解一些相关律制的律音生成方法与规律，以及它们在音阶构成上的差异，从而指导我们的调律实践。
律学对于钢琴调律学习的指导意义主要体现在以下几个方面：
(1)用五度相生法或三分损益生律法连续取律12次，可产生一个八度内的12个律音。这为我们昭示出一种很容易操作的基准音组的分律方法(四五度循环)。
(2)在五度音列中，由某一音起连续生律12次不能回到始发之律，而是多出一个最大音差，约合24音分。这为基准音组分律时五度收窄2音分、四度放宽2音分提供了理论依据。
(3)纯正四度、五度、三度、六度的频率比呈简单的整数比，音程纯净无拍。这为十二平均律的分律与检验提供了一个非常实用的音高上的参照点(无拍的纯点)。
(4)有了纯正音程的频率比及十二平均律律音的频率数，可以求出四度、五度、三度、六度的拍频(求拍频的方法后面会讲到)，从而也就为我们明确了调律中各种音程所应收窄或放宽的具体量值。
通过学习律学知识，我们明晰了三大律制的生律方法、特点与异同，更重要的是使钢琴调律的学习更理性化了，掌握起来会更快和容易一些。
这更清楚、更直观地显示十二平均律与纯律、五度相生律主要音程的异同，特附下表★[z4] 。
三律比较表
作为从事或即将走上钢琴调律岗位工作的人来说，应尽可能通过上表去了解三种律制的各种音程的不同点，特别要牢记平均律与纯律的四度、五度，乃至三度、六度具体量值(频率比值、音分数)上的差异。这对日后理解和掌握拍频的规律有帮助。
乐音体系与分组
在音乐中使用的固定高度的音的总和，称为“乐音体系”。
把乐音体系中的音由低到高排列起来，形成若干不同的音级。一个八度中包含7个基本音级、5个变化音级。乐理中把7个基本音级依次用英文字母c、d、e＼f、s＼a、b来表示；变化音级则是用代表基本音级的相应字母并在其左上角加“#”(升半音)、“b”(降半音)来标示。另外，在音乐作品中还使用“×”(重升——升两个半音)及“bb”(重降——降两个半音)记号。
由于乐音体系包含多达7个八度以上的音级，为区分同名而不同八度的音，就有必要将乐音体系中的音以不同八度划分成若干组。较为常见的有以下分法：
1.用大写和小写英文字母标记的划分法
以低音谱表第二间的c音为起点，向上的音用小引字母标记，各个八度组依次定名为小字组、小字一组、小字二组，小字三组、小字四组、小字五组，分组号用阿拉伯数字标记在音名的右上角(如c、c1、c2等)；小字组以下的音，用大写字母标记，由高至低依次定名为大字组、大字一组、大字二组、分组号标在字母的右下角(如A、A1、B2等)。现以钢琴上的音为例，划分如下图。
这种分组法在基本乐理中多见。
2.只用大写英文字母标记的划分法
这种分组法，通常是把钢琴的最低三个音A、#A、B划为“0”组，写作A0、#A0、B0；而将其上方的各组音依次定为第1至第8组，一律用大写字母标记，组号记在音名的右下角。如下图。
这种分组法在音乐学术理论界常用。
3.大写英文字母加琴键序号的划分法
在钢琴调律界习惯于音名统一用大写英文字母，并辅以琴键序号的分组法。键号紧接音名后边或标在音名右下角。钢琴的最低音为A1(或A1)，最高音为C88(或C88)如下图。
这种标记法出于专业的需要，分组不很明确，但也有规律可循。一般来说，只要熟记A1、A13、A25、A37、A49、A61、A73、A85以及C4、C16、C28、C40、C52、C64、C76、C88之音名序号，相互比照，就能很快确定其他各音的音名及键号。
实际上，在钢琴调律文献中，这种标记法更多的是见于基准音组调校的范围之内，只要记牢C28一C52间各音的键号，在应用中就绰绰有余了。
此外，顺便谈一下“一个八度”和“一组音”这两个不同的概念。有些人习惯于把“一个八度”和“一组音”混为一谈，结果在表述钢琴的音域时出现不一致的情况。这一点应引起注意。我们说钢琴上的“一组音”，是指由C至B的，12个音；而说“一个八度”时，它却包含13个音(是由C到，高八度的C)。这样，对于钢琴的音域，准确的表达就有两种：一是说它有
个八度；再就是说它包含
组音。
[z1]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社，1983.
[z2]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社.1983.
[z3]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社，1983.
[z4]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社，1983.
#钢琴调律与调整#
音乐艺术中所采用的高低不同的音，不是随便而取的，是根据某种规律和方法来确定的。我们常说这个音准了，那个音不准，实际上是针对某种律制而言的。如说钢琴上的某个音不准，是指它偏离了以a1为440Hz的十二平均律。如果有人把两条琴弦(且不考虑是什么乐器的弦)的五度关系调得纯净无拍，那它是准了还是不准呢?这要看其依据的是什么律制了。若是五度相生律或纯律，这个五度是准了；若是十二平均律，那一定是把上面的那个音调高了，或是把下面的那个音调低了。因此我们说，离开了定律法，音的准确与否就无从谈起。
我们平时所说的“音律”，当是指律制，即定律的制度、生律的方法，有时亦指高度上做精密规定的一系列音。而“律音”，则是专指高度上做精密规定的音或一系列音，也可说是指特定音律的音或一系列音。
一种定律法的提出，是人类观察自然现象、认识自然规律(如对发音体尺度、发音高度及泛音列等的观察和认识)，并创造性和有选择地运用这些规律的结果。
形形色色的律制
古今中外研究音律的人有很多，提出的定律法也不少。
在我国，春秋时期的文献《管子·地员篇》(相传齐国人管仲所作)中，有关于“三分损益法”的阐述。这是一篇研究土壤学的文论，它把音高与井深、植物生长相联系。其中有一段讲到：
“凡将起五音，凡首，先主一而三之，四开以合九九(按：即1×34＝9×9＝81)，以是生黄钟小素之首，以成宫。三分以益之以一，为百有八(按：即81 ×4／3＝108)，为徵。不无(?)有三分而去其乘(按：即108×2／3＝72)，适足以是生商。有三分而复于其所(按：即72×4／3＝96)，以是生羽。有三分去其乘(按：即96×2／3＝64)，适足以是成角。”★[z1]
这段话讲的是三分损益法生律的规律与顺序。其数据是指振动体长度，其比例与现今所言的频率比是相反的
之后的《吕氏春秋·音律篇》(约公元前3世纪)，把三分损益法所生之律音增加到12个。
由于三分损益法生到第12律时，不能回到始发之律，十二律不能“周而复始、旋相为宫”，故而汉代的京房(公元前77—公元前37)提出“六十律”。即按三分损益法生至12律后仍继续生下去，直至生到第54律，才与始发之律极接近。这种“六十律”因律数太多，没什么实用价值。
南北朝时，何承天(370—447)提出一种新律。他是把三分损益法生律12次所积累的不能回到始发律的(长度)偏差，均分后加到每次的生律之中。这种新律从效果上看较为接近十二平均律。若从科学、严谨的视角来观察，它还不能算是十二平均律，只能看做是为“十二旋宫，声韵无失”而采取的修补性权宜之举。
到了明朝，朱载堉(1536—16107)提出了科学的十二平均律理论，称为“密率”。从其《律学新说》中有万历十二年(1584年)之序文看，朱载靖完成十二平均律理论的时间当在1584年之前。
在欧洲，公元前6世纪时，古希腊毕达哥拉斯提出五度相生律。
15—17世纪，是欧洲律学史上的“纯律”时期。许多学者为推进纯律的应用做了大量的研究与实验。查里诺于1571年提出“四分之一音差中庸全音律”这种律的全音只有一种(把纯律的大全音与小全音折中)，构成的大音阶比纯律简单，而其各种音程的谐和性或是接近纯律，或是同于纯律，且能适应一定范围的转调，因此在较长一段时期内为键盘乐器所采用。
十二平均律的研究，在欧洲16世纪起也不断有成果推出。资料表明：1577年西班牙的萨里那斯(Salinas)、1588年意大利的查里诺(C.Zarlino)、1596年斯台文(S.Stevin)、1636年法国的梅森(Mersenne)、1691年德国的威克迈斯特(A.Werckmeister)等相继发表了十二平均律。
此外，阿拉伯的四分之三音体系(四度相生)，印度的二十二律，东南亚地区的五平均律、七平均律、九平均律、十平均律(通过音程宽度的增减而趋于平均，非严格的平均)等等，也都是有一定应用范围并为音乐家所重视和研究的律制。
五度相生律
五度相生律是以谐音系列中的第二、第三谐音之音程关系作为生律的基础，亦即以频率比为3／2的纯五度连续生律，并把所生各律转位到一个八度范围之内，形成一组音。
由某一音起，向上连取五律、向下取一律，可构成大音阶。以C大调为例：
首先，设定第1级音(主音)为c1，其频率比值为1，高八度c2的频率比值为2；
然后，由c1上行一个五度级取g1；
由c1上行两个五度级取d2，降低一个八度至d1；
由c1上行三个五度级取a2，降低一个八度至a1；
由c1上行四个五度级取e3，降低二个八度至e1；
由c1上行五个五度级取b2，降低二个八度至b1；
最后再由c1下行一个五度级取f，升高一个八度至f1。
至此，五度相生律C调大音阶的各级音就完全生律成了
现在我们运用前面已经学过的音程计算法及音分计算法，求出五度相生律大音阶各音与主音之间的频率比与音分数，以及各相邻音间之频率比与音分数，如下图示。
由图不难看出五度相生律大音阶的邻音间只有两种音程：一是全音，频率比为9／8，包含204音分，称为“大全音”；二是半音，频率比256／243，包含90音分，称为“小半音”。两个小半音相加小于一个大全音(90＋90<204，差24音分)。
(五度相生律小音阶是由某音起向上连取二律、向下连取四律而构成。此不赘述。)
由于五度相生律以频率比为3／2的第二、第三谐音之音程关系为生律基础，每上行或下行一个五度级音程宽度都是702音分(准确的数值是701.96音分，为计算方便通常取整数)，连续上行或下行12次，不能回到始发之律：
上生：c→g→d→a→e→b→#f→#c→#g→#d→#a→#e→#b
这里，#b不等c，而是比高2×12=24音分。
下生：bbd←bba←bbe←bbb←bf←bc←bg←bd←ba←be←bb←f←c
这里，bbd不等于c，而是比c低2×12=24音分。
如果我们在生律12次之后，再继续生下去，情况仍是一样，每生一律多2个音分，每生12次又多出24音分。如此不断地生下去，永远也回不到始发之律，只能逼近始发之律。我国汉代的京房，曾按三分损益之法(此法在效果上与五度相生法趋于一致)推算到第60律，连续生律53次所产生的第54律己与始发之律很接近(约差3.5音分)。今之赵宋光先生通过计算指出：生律665次所得之律，它与始发律的音差缩小到0.0756音分。
五度相生律的这一特点，为周而复始、循环转调设下了障碍。
下面看一下五度相生律各调的转换情况。基本乐理告诉我们，由C大调开始，每转一个近关系五度调，就要改变一个音，从整体用律的角度讲也就是增加了一个
音。如下：
升种调：
G大调增加一个#f音；
D大调又多增加一个#c音；
A大调又多增加一个#g音；
E大调又多增加一个#d音；
B大调又多增加一个#a音；
#F大调又多增加一个#e音；
降种调：
F大调增加一个bb音；
bB大调又多增加一个be音；
bE大调又多增加一个ba音；
bA大调又多增加一个bd音；
bD大调又多增加一个bg音；
bC大调又多增加一个bc音。
……
问题是，这里升种调中的#c、#d、#f、#g、#a音并不等于降种调中的bd、be、bg、ba、bb音，而且#e音也不等于f音。这是因为它们都彼此相隔12个五度级，故而均相差24个音分。这个差数在律学中称为“最大音差”。
另外，你可能已经发现，五度相生律的大全音之内均存在两个高度不同的升降音，如c—d音间有#c和bd，d－e音间有#d和be，等等。由于#c高于bd、#d高于be，所以c－#c、d－#d构成大半音，c－bd、d－be构成小半音，大半音比小半音宽一个最大音差。
说到这里，我们就不难想象，对五度相生律来说，随着调高的不断转换，所用到的音会越来越多。
纯 律
纯律是以谐音系列中的第二、第三谐音，再加上第五谐音所构成的音程作为生律的基础。亦即以频率比为3／2的纯五度及频率比为5／4的大三度及频率比为6／5的小三度来生成大小音阶中的各音。具体方法是(以C大调为例)：
先由第1级音c上行一个五度级取g音，上行两个五度级取d音，由c下行一个五度级取f音(即f→c→g→d)；然后在c—g、f—c、g—d三个五度间分别插入一个频率比为5／4的大三度音e、a和b(这三个音均比五度相生律的同名音低，故音名下面加一横线以示区别)。
这样，不但构成了C大调的主和弦、属和弦及下属和弦，而且音阶中的各级音也齐全了。
由下图看出纯律大音阶的特点是：邻音间的关系比五度相生律复杂，全音有大小两种(大全音为204音分，小全音为182音分)，半音为大半音(112音分)，两个大半音相加既大于小全音也大于大全音。
纯律大音阶中的第Ⅲ、Ⅵ、Ⅶ级音，比五度相生律的对应音均低22音分(在律学中称此音差为“普通音差”)。这是由于它们的生律方法不同而造成。这里需要特别指出：正是由于纯律采用这种更符合于自然(泛音列)规律之生律方法，各音与主音的频率呈简单整数比，三、六度音程及主、属、下属三个和弦更协和，故又有“纯正律”、“自然律”之称(上图)。 纯律小音阶仿照大音阶的构成方式，而在三个纯五度之间分别插入频率比为6／5(第五与第六谐音之频率比)的小三度。因这种小三度比五度相生律小三度宽一个普通音差(22音分)，故在音名的上方加一横线以示区别。
从下图★[z2] 可看出纯律C大调、c小调音阶所用的各音。
如转入C大调和g小调，很明显，就需要增加a、#f、f三个音；如进而转入D大调与d小调时，又要增加三律。也就是说，随着调的不断转换，律数不但会在横向而且会在纵向上无限扩张，从而形成一个大的纯律音系网★[z3] (见下图)。
纯律在应用上着实存在令人头痛的问题，特别在键盘乐器上应用是如此。
十二平均律
多少年来，人们为了解决五度相生律、纯律转调不便的问题，进行了许多探索、研究与实验，但终未取得满意的结果。这就促使人们去着眼于新的途径、新的制律方法。也正是在这种情况下，于16世纪十二平均律诞生了。
十二平均律是一种等程律，它把一个八度均分为12个宽度(频率比)完全一样的半音音程。一个半音的频率比值为
，约等于1.059461。大二度的频率比值为（
)的平方，约等于1.122462。小三度的频率比值为（
)的立方，约等于1.189207……也就是说：2个半音相加为一个全音(大二度)；3个半音相加为小三度；4个半音相加为大三度……。显然，十二平均律的音阶构成，邻音间的关系，比纯律、五度相生律都更趋简练。
十二平均律半音阶生成及关系见下图。
十二平均律有如下特点：
(1)一个八度包含12个等程半音，其他各种音程都是由若干个半音相加而成。
(2)在乐器上采用，音位设置简单，自然半音与变化半音同音异名，只需设12个半音音位便能应付各种大小调的循环转换。
(3)音程的协和性不及纯律，但这种音程上的偏离“纯”的状况远未达到改变音程性质的地步，实践证明人的耳朵对其是能够适应和接受的。
应当说，十二平均律的出现与应用，表明了音乐艺术及其理论研究的发展与进步。
运用律学知识指导调律实践
钢琴调律者学习律学知识，目的在于了解一些相关律制的律音生成方法与规律，以及它们在音阶构成上的差异，从而指导我们的调律实践。
律学对于钢琴调律学习的指导意义主要体现在以下几个方面：
(1)用五度相生法或三分损益生律法连续取律12次，可产生一个八度内的12个律音。这为我们昭示出一种很容易操作的基准音组的分律方法(四五度循环)。
(2)在五度音列中，由某一音起连续生律12次不能回到始发之律，而是多出一个最大音差，约合24音分。这为基准音组分律时五度收窄2音分、四度放宽2音分提供了理论依据。
(3)纯正四度、五度、三度、六度的频率比呈简单的整数比，音程纯净无拍。这为十二平均律的分律与检验提供了一个非常实用的音高上的参照点(无拍的纯点)。
(4)有了纯正音程的频率比及十二平均律律音的频率数，可以求出四度、五度、三度、六度的拍频(求拍频的方法后面会讲到)，从而也就为我们明确了调律中各种音程所应收窄或放宽的具体量值。
通过学习律学知识，我们明晰了三大律制的生律方法、特点与异同，更重要的是使钢琴调律的学习更理性化了，掌握起来会更快和容易一些。
这更清楚、更直观地显示十二平均律与纯律、五度相生律主要音程的异同，特附下表★[z4] 。
三律比较表
作为从事或即将走上钢琴调律岗位工作的人来说，应尽可能通过上表去了解三种律制的各种音程的不同点，特别要牢记平均律与纯律的四度、五度，乃至三度、六度具体量值(频率比值、音分数)上的差异。这对日后理解和掌握拍频的规律有帮助。
乐音体系与分组
在音乐中使用的固定高度的音的总和，称为“乐音体系”。
把乐音体系中的音由低到高排列起来，形成若干不同的音级。一个八度中包含7个基本音级、5个变化音级。乐理中把7个基本音级依次用英文字母c、d、e＼f、s＼a、b来表示；变化音级则是用代表基本音级的相应字母并在其左上角加“#”(升半音)、“b”(降半音)来标示。另外，在音乐作品中还使用“×”(重升——升两个半音)及“bb”(重降——降两个半音)记号。
由于乐音体系包含多达7个八度以上的音级，为区分同名而不同八度的音，就有必要将乐音体系中的音以不同八度划分成若干组。较为常见的有以下分法：
1.用大写和小写英文字母标记的划分法
以低音谱表第二间的c音为起点，向上的音用小引字母标记，各个八度组依次定名为小字组、小字一组、小字二组，小字三组、小字四组、小字五组，分组号用阿拉伯数字标记在音名的右上角(如c、c1、c2等)；小字组以下的音，用大写字母标记，由高至低依次定名为大字组、大字一组、大字二组、分组号标在字母的右下角(如A、A1、B2等)。现以钢琴上的音为例，划分如下图。
这种分组法在基本乐理中多见。
2.只用大写英文字母标记的划分法
这种分组法，通常是把钢琴的最低三个音A、#A、B划为“0”组，写作A0、#A0、B0；而将其上方的各组音依次定为第1至第8组，一律用大写字母标记，组号记在音名的右下角。如下图。
这种分组法在音乐学术理论界常用。
3.大写英文字母加琴键序号的划分法
在钢琴调律界习惯于音名统一用大写英文字母，并辅以琴键序号的分组法。键号紧接音名后边或标在音名右下角。钢琴的最低音为A1(或A1)，最高音为C88(或C88)如下图。
这种标记法出于专业的需要，分组不很明确，但也有规律可循。一般来说，只要熟记A1、A13、A25、A37、A49、A61、A73、A85以及C4、C16、C28、C40、C52、C64、C76、C88之音名序号，相互比照，就能很快确定其他各音的音名及键号。
实际上，在钢琴调律文献中，这种标记法更多的是见于基准音组调校的范围之内，只要记牢C28一C52间各音的键号，在应用中就绰绰有余了。
此外，顺便谈一下“一个八度”和“一组音”这两个不同的概念。有些人习惯于把“一个八度”和“一组音”混为一谈，结果在表述钢琴的音域时出现不一致的情况。这一点应引起注意。我们说钢琴上的“一组音”，是指由C至B的，12个音；而说“一个八度”时，它却包含13个音(是由C到，高八度的C)。这样，对于钢琴的音域，准确的表达就有两种：一是说它有
个八度；再就是说它包含
组音。
[z1]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社，1983.
[z2]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社.1983.
[z3]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社，1983.
[z4]引自缪天瑞.律学.北京：人民音乐出版社，1983.
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