列车沿直线轨道由A地驶向B地，A,B相距为D，列车从A地由静止出发做匀速加速直线运动，加速度大小为A1，列车最后一阶段做匀减速直线运动，加速度大小为A2，到达B时恰好静止，行驶途中列车还可做匀速运动，求列车由A到达B的最短时间t 小妹谢谢了
设做匀加速直线运动时间为t1，做匀减速直线运动时间为t2，(t1 > 0，t2 > 0)
则有：
a1·t1 = a2·t2…………………………………………(1)
(1/2)a1·(t1)^2 + (1/2)a2·(t2)^2 ≤ d…………………(2)
t1 + t2 ≤ t………………………………………………(3)
由(1)，得：t2 = t1·(a1/a2)…………………………(4)
代入(2)，得：a1·(t1)^2 + a2·[t1·(a1/a2)]^2 ≤ 2d
(t1)^2 ≤ 2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)
∴t1 ≤ sqrt[2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)]
代入(4)，得：t2 ≤ sqrt[2·d·(a1/a2)/(a1 + a2)]
代入(3)，得：t ≥ sqrt[2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)] + sqrt[2·d·(a1/a2)/(a1 + a2)]
∴(t)min = sqrt[2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)] + sqrt[2·d·(a1/a2)/(a1 + a2)]
= sqrt[2d/(a1 + a2)]·[sqrt(a2/a1) + sqrt(a1/a2)]
注：x^2表示x的平方，sqrt(x)表示x的算术平方根。
则有：
a1·t1 = a2·t2…………………………………………(1)
(1/2)a1·(t1)^2 + (1/2)a2·(t2)^2 ≤ d…………………(2)
t1 + t2 ≤ t………………………………………………(3)
由(1)，得：t2 = t1·(a1/a2)…………………………(4)
代入(2)，得：a1·(t1)^2 + a2·[t1·(a1/a2)]^2 ≤ 2d
(t1)^2 ≤ 2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)
∴t1 ≤ sqrt[2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)]
代入(4)，得：t2 ≤ sqrt[2·d·(a1/a2)/(a1 + a2)]
代入(3)，得：t ≥ sqrt[2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)] + sqrt[2·d·(a1/a2)/(a1 + a2)]
∴(t)min = sqrt[2·d·(a2/a1)/(a1 + a2)] + sqrt[2·d·(a1/a2)/(a1 + a2)]
= sqrt[2d/(a1 + a2)]·[sqrt(a2/a1) + sqrt(a1/a2)]
注：x^2表示x的平方，sqrt(x)表示x的算术平方根。
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第1个回答 2010-10-28
设行驶途中的最大速度为V，匀加速时间为T1，匀速时间为T2，匀减速为T3：
又因为加速运动有结论2×A×S=V^2，所以，
加速通过路程为S1=V^2/2*A1
减速通过路程为S2=V^2/2*A2
所以匀速运动时间为T3=(D-V^2/2*A1-V^2/2*A2)/V=D/V-V/2*A1-V/2*A2;
所以总时间为T=T1+T2+T3=V/A1+V/A2+D/V-V/2*A1-V/2*A2
=D/V+V/2*A1+V/2*A2---------------------（*）
所以问题变成求合适的V，使得T最小：
由数学结论形如 y=a/x+b×x（a,b,x>0）的极小值在a/x=b*x时得到，
所以T最小时，V=sqrt[D*(A1+A2)/(2×A1×A2)]，代入（*）式，得到：
Tmin=sqrt[2×A1×A2×D/(A1×A2)]+sqrt[D]×[(A1+A2)]/(2A1×A2)]^3/2
上面sqtt[x]代表开方；
又因为加速运动有结论2×A×S=V^2，所以，
加速通过路程为S1=V^2/2*A1
减速通过路程为S2=V^2/2*A2
所以匀速运动时间为T3=(D-V^2/2*A1-V^2/2*A2)/V=D/V-V/2*A1-V/2*A2;
所以总时间为T=T1+T2+T3=V/A1+V/A2+D/V-V/2*A1-V/2*A2
=D/V+V/2*A1+V/2*A2---------------------（*）
所以问题变成求合适的V，使得T最小：
由数学结论形如 y=a/x+b×x（a,b,x>0）的极小值在a/x=b*x时得到，
所以T最小时，V=sqrt[D*(A1+A2)/(2×A1×A2)]，代入（*）式，得到：
Tmin=sqrt[2×A1×A2×D/(A1×A2)]+sqrt[D]×[(A1+A2)]/(2A1×A2)]^3/2
上面sqtt[x]代表开方；
