由1，2，3，4，5，6，7，8，9，10按任意顺序组成的没有重复数字的数组，记为t=（x1，x2，…，x10），设S（t）=10k＝1|2xk-3xk+1|，其中x11=x1．（Ⅰ）若t=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S（t）的值；（Ⅱ）求证：S（t）≥55；（Ⅲ）求S（t）的最大值．（注：对任意a，b∈R，||a||-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|都成立．）
（Ⅰ）S（t）=
|2xk-3xk+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57．…（3分）
（Ⅱ）证明：由|a+b|≤|a|+|b|及其推广可得，
S（t）=|2x1-3x2|+|22-3x3|+…+|2x10-3x11|≥|2（x1+x2+…+x10）-3（x1+x2+…+x11）|
=|x1+x2+…+x10|=
＝55．…（7分）
（Ⅲ）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍共20个数如下：
20，18，16，14，12，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3．
其中最大数之和与最小数之和的差为203-72=131，所以S（t）≤131，
对于t0=（1，5，6，7，2，83，9，4，10），S（t0）=131，
所以S（t）的最大值为131．…（13分）
注：使得S（t）取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求．
| 10 |
 |
| k＝1 |
（Ⅱ）证明：由|a+b|≤|a|+|b|及其推广可得，
S（t）=|2x1-3x2|+|22-3x3|+…+|2x10-3x11|≥|2（x1+x2+…+x10）-3（x1+x2+…+x11）|
=|x1+x2+…+x10|=
| 10(1+10) |
| 2 |
（Ⅲ）10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍共20个数如下：
20，18，16，14，12，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3．
其中最大数之和与最小数之和的差为203-72=131，所以S（t）≤131，
对于t0=（1，5，6，7，2，83，9，4，10），S（t0）=131，
所以S（t）的最大值为131．…（13分）
注：使得S（t）取得最大值的有序数组中，只要保证数字1，2，3，4互不相邻，数字7，8，9，10也互不相邻，而数字5和6既不在7，8，9，10之一的后面，又不在1，2，3，4之一的前面都符合要求．
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