如题所述
1630年，大科学家伽利略，提出"一个质点，只在重力作用下，从一个给定点，到不在它垂直下方的另一点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，所需时间最短？"“如果使分层无限增加，每层的厚度无限变薄，则质点的运动趋近于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线。
而折线的每一段趋向于曲线的切线，因此得到最速降线的一个重要性质，即任意一点上切线和铅垂线所成的角度的余弦，与该点落下的高度的平方根的比值是常数。而具有这种性质的曲线就是摆线。”
欧拉对巴塞尔级数的证明巴塞尔级数（1+1/4+1/9+1/16+……），于1650年提出，一百多年来，无人能给出准确值，甚至牛顿、莱布尼兹和伯努利这样的大数学家，掌握微积分都无能为力。
然而在1734年，27岁的大数学家欧拉，利用非常基础的知识解决了这个难题。
莱布尼兹级数的证明大名顶顶的莱布尼兹级数该级数形式非常美妙，还包含了圆周率，表面上看，这个级数的证明，应该不简单，可事实是，只要稍微懂点微积分知识，就相当容易。
康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。
1. 费马大定理的证明
费马大定理是数学史上最著名的问题之一，它声称对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。然而，这个问题在数学家们的尝试下，直到1995年才被安德鲁·怀尔斯证明。他使用了一种名为“模形式”的数学工具，通过创新性的方法证明了费马大定理。这个证明过程被誉为数学史上最伟大的证明之一，让人拍案叫绝。
2. 哈利·波特的魔法证明
哈利·波特的魔法证明是一种用于解决图论问题的算法。这个算法在1990年由两位数学家发明，并以哈利·波特的名字命名。这个算法被证明是解决图论问题的最快方法之一，这让人们震惊不已。哈利·波特的魔法证明不仅让人拍案叫绝，还为数学家们提供了一种有效的解决方法。
3. 康威的生命游戏
康威的生命游戏是一种基于细胞自动机的模拟游戏。这个游戏在1970年由数学家约翰·康威发明，并在数学和计算机科学领域中广泛应用。在这个游戏中，每个细胞都可以有两种状态：生或死。这个游戏的规则非常简单，但是可以产生出极其复杂的图案。康威的生命游戏是一种让人们惊叹的证明过程，它展示了简单规则下的复杂性。
4. 黑白染色问题
黑白染色问题是一种著名的数学问题，它声称对于任何平面图，都可以用两种颜色将其染色，使得相邻的区域颜色不同。这个问题在20世纪初由数学家列维-图拉斯发表，但是直到1976年才被美国数学家汤姆森证明。他使用了一种名为“离散傅里叶变换”的数学工具，通过创新性的方法证明了黑白染色问题。这个证明过程被誉为数学史上的里程碑，让人拍案叫绝。
以上是关于数学中让人拍案叫绝的一些证明过程的文章。这些证明过程不仅展示了数学的美妙和深奥，还让人们了解到数学家们的创新思维和勇气。追答
数学是一门需要逻辑思维和严密证明的学科，因此，数学中的一些证明过程常常让人拍案叫绝。以下是关于数学中让人拍案叫绝的一些证明过程的文章。
1. 费马大定理的证明
费马大定理是数学史上最著名的问题之一，它声称对于任何大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。然而，这个问题在数学家们的尝试下，直到1995年才被安德鲁·怀尔斯证明。他使用了一种名为“模形式”的数学工具，通过创新性的方法证明了费马大定理。这个证明过程被誉为数学史上最伟大的证明之一，让人拍案叫绝。
2. 哈利·波特的魔法证明
哈利·波特的魔法证明是一种用于解决图论问题的算法。这个算法在1990年由两位数学家发明，并以哈利·波特的名字命名。这个算法被证明是解决图论问题的最快方法之一，这让人们震惊不已。哈利·波特的魔法证明不仅让人拍案叫绝，还为数学家们提供了一种有效的解决方法。
3. 康威的生命游戏
康威的生命游戏是一种基于细胞自动机的模拟游戏。这个游戏在1970年由数学家约翰·康威发明，并在数学和计算机科学领域中广泛应用。在这个游戏中，每个细胞都可以有两种状态：生或死。这个游戏的规则非常简单，但是可以产生出极其复杂的图案。康威的生命游戏是一种让人们惊叹的证明过程，它展示了简单规则下的复杂性。
4. 黑白染色问题
黑白染色问题是一种著名的数学问题，它声称对于任何平面图，都可以用两种颜色将其染色，使得相邻的区域颜色不同。这个问题在20世纪初由数学家列维-图拉斯发表，但是直到1976年才被美国数学家汤姆森证明。他使用了一种名为“离散傅里叶变换”的数学工具，通过创新性的方法证明了黑白染色问题。这个证明过程被誉为数学史上的里程碑，让人拍案叫绝。
以上是关于数学中让人拍案叫绝的一些证明过程的文章。这些证明过程不仅展示了数学的美妙和深奥，还让人们了解到数学家们的创新思维和勇气。
1. 费马大定理的证明：费马大定理是一条三百年难题，20世纪才被安德鲁·怀尔斯用菊地秀行的方法证明。
2. 柯西-施瓦茨不等式的证明：这个不等式在数学中应用广泛，它的证明方式既优美又简单。
3. 康威的生命游戏的证明：康威提出了一种名为“生命游戏”的规则，推导出一些有趣的性质，这个证明过程涉及到许多组合数学和图论的知识。
4. 斯特林数的证明：斯特林数是数学中的一组数列，它们有着非常重要的组合意义。这个证明过程需要运用到生成函数、递推关系等数学方法。
5. 庞加莱猜想的证明：这个猜想是数学中一个非常重要的问题，其证明涉及到了拓扑学和微积分等多个数学领域。最终的证明由格里戈里·佩雷尔曼完成，他也因此获得了菲尔兹奖。
在我看来最神奇的莫过于此。一个看似神奇而证明极为简单而巧妙的定理。
定理(Kirszbraun)设 是一个度量空间，则定义在 任何子集上的Lipschitz实函数，都能被延拓到整个 上，且保持函数的Lipschitz常数不变。
这个定理的神奇之处在于函数的定义仅在一个子集上，如果学过泛函的人一定知道延拓这件事并不是无条件的。
而这个定理告诉我们，Lipschitz函数性质是如此之好，以至于它在任何子集上的的任何延拓，都可以是无条件的。我们先假设 是定义在任意一个子集 上的Lipschitz函数，其Lipshitz常数 ，这个定理的证明只有一行字：
证明：令 ， 是Lipschitz函数且Lipschitz常数为 ，证毕
。
Kirszbraun就借着这一行字，拿到了他的硕士学位。
在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是 1735 年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：这是一个出人意料的答案，圆周率 π 毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程 sin(x)/x = 0 的解，对 sin(x)/x 的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。欧拉大师耍了一个漂亮的流氓。
2.最受数学家喜爱的无字证明
1989 年的《美国数学月刊》（American Mathematical Monthly）上有一个貌似非常困难的数学问题：下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分），证明当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。
《美国数学月刊》提供了一个非常帅的“证明”。把每种菱形涂上一种颜色，整个图形瞬间有了立体感，看上去就成了一个个立方体在墙角堆叠起来的样子。三种菱形分别是从左侧、右侧、上方观察整个立体图形能够看到的面，它们的数目显然应该相等。它把一个纯组合数学问题和立体空间图形结合在了一起，实在让人拍案叫绝。这个问题及其鬼斧神工般的“证明”流传甚广，深受数学家们的喜爱。死理性派曾经讨论过 这个问题 。同时它还是死理性派logo的出处。本回答被网友采纳
