如题所述
数论：
①费马二平方和定理（奇素数能表示为两个平方数之和的充分必要条件是该素数被4除余1）：构造对合
请问费马二平方和定理由Don Zagier在1990年给出的最简单的证明方法是什么？
②费马大定理：使用椭圆曲线与模形式
Yves Hellegouarch 在1975年 提出了把费马方程的解与一个完全不同的数学对象椭圆曲线联系起来的想法：
设P 是奇素数，假如费马大定理不成立
那么存在 abc 是正整数，使得
与之相匹配的由方程：
定义的代数曲线是亏格为1的椭圆曲线。
Gerhard Frey 在1982 年猜想这条曲线不具有模性，该曲线后来被称为 Frey 曲线。1986年，猜想被Ribet证明，从而 Frey 曲线是谷山志村猜想的反例，如果谷山志村猜想为真，那么费马大定理成立，这在费马大定理和谷山志村猜想之间架起了一座桥梁，详情参考：
为什么费马大定理在数学史上的地位如此重要？
⒉几何：
①正十七边形可以尺规作出：
求圆心角余弦的二次根式表达式
你也可以轻松的画出正十七边形
尺规作正十七边形究竟有多难？
如何用尺规做正65537边形？
②角格点问题（源于Langley's Adventitious Angles)
使用三外心方法代数化，转化为数论问题
“角格点”完全分类
一些平面几何做法
如何用平几方法解决三角形角格点问题？
20度30度40度50度的角格点几何题
⒊代数：
①一元五次以上方程没有一般的根式解：
使用群和域，方程有根式解的充要条件是其伽罗瓦群是可解群
数学中有许多令人惊叹的证明过程，以下是其中一些例子：
1. 费马大定理的证明：费马大定理是数学中最著名的问题之一，该问题在费马提出后花费了数百年才被证明。安德鲁·怀尔斯在1994年提出了一个惊人的证明，涉及许多高深的数学知识，如椭圆曲线和模形式。
2. 四色定理的证明：四色定理声称任何平面图都可以用四种或更少的颜色进行着色，以确保相邻的区域具有不同的颜色。该定理的证明涉及了大量的图论和图着色的研究，并且由于其复杂性而备受关注。最终，在1976年，该定理由Appel和Haken通过使用计算机辅助证明得到了解决。
3. 哥德巴赫猜想的证明：哥德巴赫猜想声称每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。这个猜想在数学界存在了几个世纪，直到2013年，秘鲁数学家哈拉尔多·埃斯普罗萨提出了一个惊人的证明。他的证明涉及到大量的数论和组合数学的技巧，引起了广泛的讨论和赞赏。
这些仅是众多数学中令人叹为观止的证明之一。数学领域中有许多其他具有启发性和创新性的证明过程，展示了人类思维的奇妙能力。
伯努利对最速降线的证明最速降线问题，是17世纪的著名难题，难倒了很多数学家。1630年，大科学家伽利略，提出"一个质点，只在重力作用下，从一个给定点，到不在它垂直下方的另一点，不计摩擦力，问沿着什么曲线下滑，所需时间最短？"“如果使分层无限增加，每层的厚度无限变薄，则质点的运动趋近于空间A、B两点间质点运动的真实情况，此时折线也就无限增多，其形状就趋近我们所要求的曲线——最速降线。而折线的每一段趋向于曲线的切线，因此得到最速降线的一个重要性质，即任意一点上切线和铅垂线所成的角度的余弦，与该点落下的高度的平方根的比值是常数。而具有这种性质的曲线就是摆线。”
欧拉对巴塞尔级数的证明巴塞尔级数（1+1/4+1/9+1/16+……），于1650年提出，一百多年来，无人能给出准确值，甚至牛顿、莱布尼兹和伯努利这样的大数学家，掌握微积分都无能为力。然而在1734年，27岁的大数学家欧拉，利用非常基础的知识解决了这个难题。
莱布尼兹级数的证明大名顶顶的莱布尼兹级数该级数形式非常美妙，还包含了圆周率，表面上看，这个级数的证明，应该不简单，可事实是，只要稍微懂点微积分知识，就相当容易。
康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。
2. 点线平面公理的构建过程：欧几里德的《几何原本》是古代数学的杰作之一。欧几里德通过构建几何公理，引出了众多几何学的经典命题。在点线平面公理的构建过程中，欧几里德把几何学从单纯的测量转化为纯粹的逻辑数学问题，这一过程被认为是古代数学中最为重要的证明过程之一。
3. 康托尔集合论的进阶过程：康托尔集合论被认为是现代数学的基础之一。康托尔对无限集合的思考，引出了无穷可数集合和无穷不可数集合的概念，引领了数学的进一步发展。康托尔的证明方法、概念创新和数学思维方式被称为伟大的数学思想和方法理论的创始人。
4. 柯西不等式的证明过程：柯西不等式被认为是数学分析中最基本的不等式之一。这个不等式是由法国数学家阿道夫·柯西在1821年提出的。柯西不等式在各种领域都有广泛的应用。其证明过程在数学思维和技能、分析推理方面均达到了崭新的高度，这一过程受到广泛关注并被深入研究。
5. 平面几何基础理论的建立：长期以来，平面几何一直是数学分析中最基础的一部分之一，关乎各种几何重要公式和定理的建立过程。先驱者们在不断探索中，建立了平面几何的基础理论，并开拓了数学研究的新领域，这被认为是大航海的起点之一。本回答被网友采纳
欧拉对巴塞尔级数的证明巴塞尔级数（1+1/4+1/9+1/16+……），于1650年提出，一百多年来，无人能给出准确值，甚至牛顿、莱布尼兹和伯努利这样的大数学家，掌握微积分都无能为力。然而在1734年，27岁的大数学家欧拉，利用非常基础的知识解决了这个难题。
莱布尼兹级数的证明大名顶顶的莱布尼兹级数该级数形式非常美妙，还包含了圆周率，表面上看，这个级数的证明，应该不简单，可事实是，只要稍微懂点微积分知识，就相当容易。
康托尔对自然数和有理数"一样多"的证明康托尔之前，人们都认为有理数远远多于自然数，直到康托尔指出，两者的势是一样的，并提出著名的对角线法则。
