如题所述
原式=∫e^(-x^2)dx
=∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=∫∫e^(-r^2) rdrdα
=(∫e^(-r^2) rdr)*(∫dα)
=π*∫e^(-r^2) dr^2
=π*(1-e^(-r^2) |r->+∝
=π
∵ ∫∫e^(-x^2-y^2) dxdy
=(∫e^(-x^2)dx)*(∫e^(-y^2)dy)
=(∫e^(-x^2)dx)^2
∴∫e^(-x^2)dx=√π
根据牛顿－莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
- 例如计算不定积分∫x²3√1-xdx
解：原式=3∫x²√1-x
令√1-x=t
x=1-t²
dx=-2tdt
原式=3∫（1-t²）²t(-2t)dt
=3∫（-2t²+4t^4-2t^6）dt
=-6∫t²dt+12∫t^4dt-6∫t^6dt
=-2t^3+12/5t^5-6/7t^7+c
=-2√(1-x)^3+12/5√(1-x)^5-6/7√(1-x)^7+c。
- 例如本题不定积分计算过程如下：
∫（1-3x）^6dx
=(-1/3)∫(1-3x)^6d(1-3x)
=-1/3*(1-3x)^7*(1/7)+C
=-1/21*（1-3x）^7+C。
- 不定积分概念
设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+ C(其中，C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，又叫做函数f(x)的反导数，记作∫f(x)dx或者∫f（高等微积分中常省去dx），即∫f(x)dx=F(x)+C。
其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。
- 不定积分计算方法
不定积分的主要计算方法有:凑分法、公式法、第一类换元法、第二类换元法、分部积分法和泰勒公式展开近似法等。
需要注意的是不是所有函数都能积分出来，同时各种方法可以用其一也可以多种方法综合应用。
