超几何分布、二项分布的均值如何证明?

将概率分布函数做Z变换，得到概率生成函数G(z)
则均值就是G'(1)

比如二项分布：
分布函数：P{x=k}=[Cn,k] * [p^k] * [(1-p)^(n-k)]
生成函数：G(z)=[pz+(1-p)]^n
对其求导，并令z=1：G'(1)=np
也就是均值。

超几何分布是什么分布我不知道，不过方法是通用的本回答被提问者采纳

　　超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还）。
　　在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k，则P(X=k)=C（M，k）·C(N-M,n-k)/C(N,n）， C（a b）为古典概型的组合形式，a为下限，b为上限，此时我们称随机变量X服从超几何分布（hypergeometric distribution）
　　（1）超几何分布的模型是不放回抽样
　　（2）超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M）。
　　期望

　　对X~H(N，M，n），E(x)=nM/N
　　证明：引理一：∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b），考察（1+x)^a*（1+x)^b中x^d的系数即得。（另：还可以由超几何分布1=∑P(X=K),k=0,1,2....n得）
　　引理二：k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1），易得。
　　正式证明：
　　EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}
　　=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}
　　//（提取公因式，同时用引理二变形，注意k的取值改变）
　　=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1）*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} （提取，整理出引理一的前提）
　　=M*C(n-1,N-1）/C(n,N) （利用引理一）
　　=Mn/N （化简即得）
　　二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
　　证明:由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.
　　设随机变量X（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
　　因X(k)相互独立,所以期望：E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np.
　　方差：D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p).
　　证毕.