最近学校里学概率,学了超几何分布和二项分布的均值公式,但公式怎么证明老师没说,在百度、Google上也没找到。帮忙给个证明过程,谢谢
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ãã=â{ξ =0ï¼n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
ãã=â{ξ =1ï¼n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)
ãã=n*p*â{ξ =1ï¼n}C{ξ-1ï¼n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)
ãã=n*p*(p+q)^(n-1)
ãã=n*p
则均值就是G'(1)
比如二项分布:
分布函数:P{x=k}=[Cn,k] * [p^k] * [(1-p)^(n-k)]
生成函数:G(z)=[pz+(1-p)]^n
对其求导,并令z=1:G'(1)=np
也就是均值。
超几何分布是什么分布我不知道,不过方法是通用的本回答被提问者采纳
在产品质量的不放回抽检中,若N件产品中有M件次品,抽检n件时所得次品数X=k,则P(X=k)=C(M,k)·C(N-M,n-k)/C(N,n), C(a b)为古典概型的组合形式,a为下限,b为上限,此时我们称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution)
(1)超几何分布的模型是不放回抽样
(2)超几何分布中的参数是M,N,n上述超几何分布记作X~H(N,n,M)。
期望
对X~H(N,M,n),E(x)=nM/N
证明:引理一:∑{C(x,a)*C(d-x,b),x=0..min{a,d}}=C(d,a+b),考察(1+x)^a*(1+x)^b中x^d的系数即得。(另:还可以由超几何分布1=∑P(X=K),k=0,1,2....n得)
引理二:k*C(k,n)=n*C(k-1,n-1),易得。
正式证明:
EX=∑{k*C(k,M)*C(n-k,N-M)/C(n,N),k=0..min{M,n}}
=1/C(n,N)*∑{M*C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}}
//(提取公因式,同时用引理二变形,注意k的取值改变)
=M/C(n,N)*∑{C(k-1,M-1)*C(n-k,N-M),k=1..min{M,n}} (提取,整理出引理一的前提)
=M*C(n-1,N-1)/C(n,N) (利用引理一)
=Mn/N (化简即得)
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布就是伯努利分布。
证明:由二项式分布的定义知,随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数,且在每次试验中A发生的概率为p.因此,可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的(0-1)分布随机变量之和.
设随机变量X(k)(k=1,2,3...n)服从(0-1)分布,则X=X(1)+X(2)+X(3)....X(n).
因X(k)相互独立,所以期望:E(X)=E[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np.
方差:D(X)=D[X(1)+X(2)+X(3)....X(n)]=np(1-p).
证毕.