可导函数的导函数不一定连续？为什么？不是有导数极限定理吗？

反例:函数f(x)：

当x不等于0时,f(x)=x^2*sin(1/x);

当x=0时，f(x)=0

这个函数在(-∞,+∞)处处可导。

导数是f'(x):

当x不等于0时,f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x);

当x=0时，f'(x)=lim{[f(x)-f(0)]/(x-0),x->0}=lim[xsin(1/x),x->0]=0

lim[f'(x),x->0]不存在，所以在x=0这一点处,f'(0)存在但f'(x)不连续。

扩展资料：

如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

魏尔斯特拉斯函数   是由魏尔斯特拉斯构造出的一个函数，其在R上处处连续，但处处不可导。

其中  ，  是正奇数，且  满足

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果  的值比  附近所有各点的函数值都大，我们说  是函数y=f(x)的一个极大值；如果  的值比  附近所有各点的函数值都小，我们说  是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点：

1．极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

2．函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。

3．极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。

4．函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。