怎么样用计算机计算圆周率 π ？
一、中国圆周率公式的分类
外国圆周率公式为高精度圆周率的计算立下了汗马功劳，并为许多数学人所熟习，但并不适合普通人使用，下面向数学爱好者和中学生们介绍一组中国人自己研究的普及型圆周率公式：
一基本公式：
⑴π＝180°sinθ∕θ 、
⑵π＝180°∕(θ cscθ)、
⑶π＝180°tgθ∕θ 、
⑷π＝180°∕(θ ctgθ) 、
（θ→0°θ＞0°）
此类公式以圆内接或外切直角三角形或正多边形的边所对应的圆心角为计算依据，外形简单，计算方便，对圆周率的概括比较全面系统；同时，既是1弧度公式，又是1角度公式。
二派生公式：
⑸π＝(n/2)*sin(360°∕n) 、
⑹π＝1∕((2/n)*csc(360°∕n)) 、
⑺π＝(n/2)*tg(360°∕n) 、
⑻π＝1∕((2/n)*ctg(360°∕n)) 、
（n→∞, n≥5）
此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切直角三角形数量为计算依据，是专用性、针对性较强的圆周率公式。
三派生公式：
⑼π＝nsin(180°∕n) 、
⑽π＝n/csc(180°∕n) 、
⑾π＝ntg(180°∕n) 、
⑿π＝n/ctg(180°∕n) 、
（n→∞,n≥3）
此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切正多边形的边数为计算依据，是中国割圆术公式的典型代表。
四专业公式：
⑴π＝2＾n√（2-√（2+…√2+）…）
⑵π＝3×2＾n√（2-√（2+…√（2+√3）…）
⑶π＝2×2＾n√（2-√（2+…√2+）…）/√（2+√（2+…√2+）…）
⑷π＝6×2＾n√（2-√（2+…√3）…）/√（2+√（2+…√3）…）
（n→∞，根式中有n个2）
专业公式可由基本公式或倍边公式推导，它们是割圆术公式的最高形式，是以圆内接或外切正四边形或正六边形为基础，不断分割至无穷，从而得到适合专家们使用的表达式。
根据以上公式和三角函数间的关系，还可导出更为复杂一些的圆周率公式。
二、中国圆周率的计算
在圆周率的日常应用中，我们根本不需要对其进行计算，因为数学家已经计算好了，直接拿来运用即可；但对于数学爱好者和中学生来说，亲自动手计算圆周率，将会进一步加深对圆周率的理解。
在计算机发明以前，圆周率的计算主要是靠手工计算和其他简易工具的计算，今天我们可以直接运用计算机或计算器进行计算，计算器的精度一般在10位左右，计算机上的计算器精度一般在30或60位左右，如果需要数以万计、亿计的精度，则需要将三角函数原始公式代入，转换成专业公式并编制专用程序进行计算即可，这里只是简单介绍常规计算。
圆周率公式非常多，我们只取其中几个最简单的中国圆周率公式进行讲解：
⑴ π＝180°sinθ∕θ 、
⑵ π＝180°tgθ∕θ 、
（θ→0°θ＞0°）
一模拟计算正24576边形的圆周率（祖率）
∵ θ＝180°∕24576＝0.007324219°
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝180°×sin0.007324219°∕0.007324219°
＝180°×0.0001278317363∕0.007324219°
＝3.1415926
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝180°×tg0.007324219°∕0.007324219°
＝180°×0.0001278317374∕0.007324219°
＝3.1415927
如果采用传统的割圆术公式（倍边公式）进行祖率计算，运算过程将达上百步，不管是采用手工还是计算器，其运算过程都是十分繁琐的。
二计算30位精度的圆周率（win系统计算器）
一般地，θ小数每增加一位，则π有效值增加两位。
为了简化运算，θ取值为1.8°×10＾（-15）即可。
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝sin（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝tg（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5
三十位或六十位的精度已能满足大多数科研及专业应用，成千上万、上亿位的精度主要是专家们为了检验圆周率公式及程序的优劣和计算机性能的高低等特殊需要而存在的。
三计算100位精度的圆周率（专业软件）
取π＝2＾n√（2-√（2+…√2）…）
（n→∞）
该公式的精度一般为0.56n,即n=100/0.56≈180
π＝2＾180√（2-√（2+…√2）…）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 8
利用计算器、计算机计算圆周率效率极高，相信一定能够给数学爱好者和中学生们带来意想不到的效果。
三、中国圆周率的主要作用
在圆周率的历史长河中，由于计算工具和计算方法的落后，圆周率公式的推导主要是为手工计算而设计的，其主要作用就是为计算而计算，因而得出的圆周率公式非常复杂，除了专家们能够掌握使用外，普通人是知其然而不知所以然。所以旧的圆周率公式很不利于大众普及。
由于计算工具的快速发展，手工计算圆周率已成为历史。然而，圆周率公式依旧复杂，普通人即使利用计算器或计算机计算圆周率依然很不方便。
值得庆幸的是：中国的许多数学家和众多的业余数学爱好者们前赴后继，利用中国古代的割圆术思想与现代数学知识相结合，诞生了今天的中国圆周率公式，该公式正好弥补了圆周率的千古缺陷。
所以，中国圆周率公式现今的主要作用是：
1、简捷、全面、准确的描述圆周率及相关性质。
2、快速、方便、有趣的计算圆周率。
外国圆周率公式为高精度圆周率的计算立下了汗马功劳，并为许多数学人所熟习，但并不适合普通人使用，下面向数学爱好者和中学生们介绍一组中国人自己研究的普及型圆周率公式：
一基本公式：
⑴π＝180°sinθ∕θ 、
⑵π＝180°∕(θ cscθ)、
⑶π＝180°tgθ∕θ 、
⑷π＝180°∕(θ ctgθ) 、
（θ→0°θ＞0°）
此类公式以圆内接或外切直角三角形或正多边形的边所对应的圆心角为计算依据，外形简单，计算方便，对圆周率的概括比较全面系统；同时，既是1弧度公式，又是1角度公式。
二派生公式：
⑸π＝(n/2)*sin(360°∕n) 、
⑹π＝1∕((2/n)*csc(360°∕n)) 、
⑺π＝(n/2)*tg(360°∕n) 、
⑻π＝1∕((2/n)*ctg(360°∕n)) 、
（n→∞, n≥5）
此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切直角三角形数量为计算依据，是专用性、针对性较强的圆周率公式。
三派生公式：
⑼π＝nsin(180°∕n) 、
⑽π＝n/csc(180°∕n) 、
⑾π＝ntg(180°∕n) 、
⑿π＝n/ctg(180°∕n) 、
（n→∞,n≥3）
此类派生公式可以由基本公式导出或单独推导，并以圆内接或外切正多边形的边数为计算依据，是中国割圆术公式的典型代表。
四专业公式：
⑴π＝2＾n√（2-√（2+…√2+）…）
⑵π＝3×2＾n√（2-√（2+…√（2+√3）…）
⑶π＝2×2＾n√（2-√（2+…√2+）…）/√（2+√（2+…√2+）…）
⑷π＝6×2＾n√（2-√（2+…√3）…）/√（2+√（2+…√3）…）
（n→∞，根式中有n个2）
专业公式可由基本公式或倍边公式推导，它们是割圆术公式的最高形式，是以圆内接或外切正四边形或正六边形为基础，不断分割至无穷，从而得到适合专家们使用的表达式。
根据以上公式和三角函数间的关系，还可导出更为复杂一些的圆周率公式。
二、中国圆周率的计算
在圆周率的日常应用中，我们根本不需要对其进行计算，因为数学家已经计算好了，直接拿来运用即可；但对于数学爱好者和中学生来说，亲自动手计算圆周率，将会进一步加深对圆周率的理解。
在计算机发明以前，圆周率的计算主要是靠手工计算和其他简易工具的计算，今天我们可以直接运用计算机或计算器进行计算，计算器的精度一般在10位左右，计算机上的计算器精度一般在30或60位左右，如果需要数以万计、亿计的精度，则需要将三角函数原始公式代入，转换成专业公式并编制专用程序进行计算即可，这里只是简单介绍常规计算。
圆周率公式非常多，我们只取其中几个最简单的中国圆周率公式进行讲解：
⑴ π＝180°sinθ∕θ 、
⑵ π＝180°tgθ∕θ 、
（θ→0°θ＞0°）
一模拟计算正24576边形的圆周率（祖率）
∵ θ＝180°∕24576＝0.007324219°
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝180°×sin0.007324219°∕0.007324219°
＝180°×0.0001278317363∕0.007324219°
＝3.1415926
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝180°×tg0.007324219°∕0.007324219°
＝180°×0.0001278317374∕0.007324219°
＝3.1415927
如果采用传统的割圆术公式（倍边公式）进行祖率计算，运算过程将达上百步，不管是采用手工还是计算器，其运算过程都是十分繁琐的。
二计算30位精度的圆周率（win系统计算器）
一般地，θ小数每增加一位，则π有效值增加两位。
为了简化运算，θ取值为1.8°×10＾（-15）即可。
∴ ⑴ π＝180°sinθ∕θ
＝sin（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5
∴ ⑵ π＝180°tgθ∕θ
＝tg（1.8°×10＾（-15））×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5×10＾（-17）
×180°∕1.8°×10＾（-15）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 5
三十位或六十位的精度已能满足大多数科研及专业应用，成千上万、上亿位的精度主要是专家们为了检验圆周率公式及程序的优劣和计算机性能的高低等特殊需要而存在的。
三计算100位精度的圆周率（专业软件）
取π＝2＾n√（2-√（2+…√2）…）
（n→∞）
该公式的精度一般为0.56n,即n=100/0.56≈180
π＝2＾180√（2-√（2+…√2）…）
＝3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 8
利用计算器、计算机计算圆周率效率极高，相信一定能够给数学爱好者和中学生们带来意想不到的效果。
三、中国圆周率的主要作用
在圆周率的历史长河中，由于计算工具和计算方法的落后，圆周率公式的推导主要是为手工计算而设计的，其主要作用就是为计算而计算，因而得出的圆周率公式非常复杂，除了专家们能够掌握使用外，普通人是知其然而不知所以然。所以旧的圆周率公式很不利于大众普及。
由于计算工具的快速发展，手工计算圆周率已成为历史。然而，圆周率公式依旧复杂，普通人即使利用计算器或计算机计算圆周率依然很不方便。
值得庆幸的是：中国的许多数学家和众多的业余数学爱好者们前赴后继，利用中国古代的割圆术思想与现代数学知识相结合，诞生了今天的中国圆周率公式，该公式正好弥补了圆周率的千古缺陷。
所以，中国圆周率公式现今的主要作用是：
1、简捷、全面、准确的描述圆周率及相关性质。
2、快速、方便、有趣的计算圆周率。
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第1个回答 2013-09-01
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