已知焦点在x轴的椭圆C经过点M(根号下3,1/2),点P在椭圆C上,F1,F2分别为其左右焦点,角F1PF2的最大值为120

已知P是焦点在X轴上的椭圆C上一点，点P到两焦点F1,F2的距离分别为4根号3和2根号3，∠F1PF2的平分线交X轴于点Q（1，0），求椭圆C的标准方程。
解：根据题意
2a=4√3+2√3
a=3√3
根据角平分线性质
PF1/PF2=F1Q/QF2
4√3/2√3=(c+1)/(c-1)
2c-2=c+1
c=3
b²=a²-c²=27-9=18
椭圆方程：x²/27+y²/18=1

第一题就给你个答案行吗，第二题给你过程追问

恩，我就是要第二题的过程了。

追答

x²/4+y²=1

设MN：y=kx+g，M(x1，y1)，N(x2，y2)
联立x²/4+y²=1与y=kx+g，得(4k²+1)x²+8kgx+4g²-4=0
△=(8kg)²-4(4g²-4)(4k²+1)>0 ==>4k²+1>g²

因为|MN|=√(1+k²)|x1-x2|
MN到原点距离d=|g|/√(1+k²)
所以S△OMN=d|MN|÷2
=|g||x1-x2|÷2
=√g²[(x1+x2)²-4x1x2]÷2
=√g²[(-8kg/4k²+1)²-4(4g²-4)/(4k²+1)]÷2

因为
(x-x0)²+(y-y0)²=(x0)²+(y0)²-1
x²+y²=1
所以x0x+y0y=1
所以k²=(-x0/y0)²，g²=(1/y0)²
所以k²+1=g²

所以S△OMN =√g²[(-8kg/4k²+1)²-4(4g²-4)/(4k²+1)]÷2
=
=

追问

点P不是圆上点，所以K^2+1≠g^2吧

追答

我不知道哪里算错了，你等一会儿我去拿纸算

追问

而且y0不能做分母，因为不确定y0是否等于0

追答

这是第一步，一般做这种题时先不考虑特殊情况，做完后再来考虑特殊情况。所以你看试题参考答案，特殊情况都是放在后面的。

追问

可是你为什么一开始就不把直线AB设成x0x+y0y=1呢，就用它跟椭圆方程联立就好了呀，最后△OMN的面积就是用x0,y0表示出来的,又因为点P在椭圆上，就得到一个x0,y0的关系式，再将三角形的面积统一用x0表达出来，就得到一个函数关系式，就能求最值了

追答

y=kx+g与x²/4+y²=1联立解题是高中解析几何的通法，用会了了威力无穷。你想独孤求败在重剑时期就劈，砍，戳等等简单招式，要想成为高手就得用最简单的方法解题。我不喜欢直接用x0x+y0y=1。

追问

可是你最后不是还得用x0x+y0y=1从而建立k和g的关系解题吗？而且你还得讨论y0是否等于0的问题，斜率是否存在的问题，如果你一开始就直接用的话就不存在这些问题了，你如果坚持用你的方法做的话，计算量会很大，很容易算错。顺便弱弱的问一句，如果一直线恒过（a,0)点，你会怎么设啊

追答

在考试时我一般会预先留出些位置为后面的讨论，只要你练熟了，计算量是小东西，也不会怎么错，错了马上就能看出。不知你发现没有，越有技巧的方法适用面越窄。

用你的方法
过(a，0)的直线
不存在斜率x=a
存在斜率y=k(x-a)+0

【点P不是圆上点，所以K^2+1≠g^2吧】：当p(0,1)时在圆上吗？再说k²+1=g²并不是圆的方程，仅仅是个等式而已。

【接着上面的题】
因为k²+1=g²

所以S△OMN =√g²[(-8kg/4k²+1)²-4(4g²-4)/(4k²+1)]÷2
=(√3/2)√[1+3/(4k²+1)][1-1/(1+4k²)]

因为4k²+1>g²,1+k²=g²
所以4k²+1>1+k²
所以k²>0
令1/(1+4k²)=t,0<t<1
所以(1+3t)(1-t)≤4/3------------------由一元二次函数得
当且仅当t=1/3即1/(1+4k²)=1/3也即k²=1/2时等号成立
所以S△OMN≤(√3/2)√(4/3)=1

追问

首先点P的横坐标不能为0，而且k^2+1=g^2是怎么得到的呢

追答

我是说我哪里做错了，原来是这里

g²=(1/y0)²(y0)²=1/g²

k²=(-x0/y0)²=(x0)²g² (x0)²=(k/g)²

所以(k/g)²+4/g²=4

所以k²+4=4g²

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