三棱锥外接球半径公式是什么？

三棱锥外接球半径公式：

设A－BCD是正三棱锥,侧棱长为a,底面边长为b,

则外接球的球心一定在这个三棱锥的高上。设高为AM，连接DM交BC于E，连接AE，然后在面ADE内做侧棱AD的垂直平分线交三棱锥的高AM于O，则0就是外接球的球心，AO，DO是外接球的半径。

设AO＝DO＝R

则,DM＝2/3DE＝2/3*2分之根号3倍的b=b/根号3

AM＝根号（a^2-b^2/3),

OM=AM-A0=根号（a^2-b^2/3)-R

由DO＾2＝OM＾2＋DM＾2得,

R＝根号3倍的a^2÷2倍的根号（3a^2-b^2)。

三棱锥，是锥体的一种，几何体，由四个三角形组成。固定底面时有一个顶点，不固定底面时有四个顶点。（正三棱锥不等同于正四面体，正四面体必须每个面都是正三角形）。

三棱锥是一种简单多面体。指空间两两相交且不共线的四个平面在空间割出的封闭多面体。它有四个面、四个顶点、六条棱、四个三面角、六个二面角与十二个面角。若四个顶点为A，B，C，D.则可记为四面体ABCD，当看做以A为顶点的三棱锥时，也可记为三棱锥A-BCD。

三棱锥外接球的半径公式可以通过以下步骤推导得到：

1. 三棱锥外接球的球心是三棱锥的垂心。垂心是三条高线的交点，它可以通过求解三角形高线的交点找到。
2. 找到三棱锥的底面三角形，在该三角形中，由于三棱锥外接球是底面三角形的外接圆，因此垂心到三角形三个顶点的距离相等，即垂心到三角形三个顶点的距离等于外接球的半径。
3. 计算底面三角形任意一边的中线长度（等于该边的一半），并用该长度作为垂心到该边的距离。
4. 根据勾股定理，底面三角形两条边的长度和底边长的关系为 a^2 + b^2 = c^2 ，其中a、b、c分别为底面三角形两条边和底边的长度。
5. 由底面三角形的中线长度和勾股定理可以得到垂心到底边的距离 d = sqrt(a^2 + m^2)，其中m为底边的中线长度。
6. 由垂心到顶点的距离等于外接球的半径，以及垂心到底边的距离可以得到外接球的半径 R = sqrt(r^2 + d^2)，其中r为底边的中线长度。

综上所述，三棱锥外接球的半径公式为 R = sqrt(r^2 + (sqrt(a^2 + m^2))^2) ，其中r为底边的中线长度，a和b为底边两条边的长度，m为底边的中线长度。