几何分布的期望与方差

几何分布，这个看似简单的概念却在日常生活中无处不在，比如一对夫妇期待着他们的第一个儿子，每生一个孩子，如果不是男孩，他们就继续生育，直到迎来他们的目标。这就是一个以0.5的概率定义的几何分布的生动例子。

深入理解几何分布，首先我们从期望值出发。对于随机变量X，遵循几何分布，其期望值可以通过两种方法求解。一是巧妙地运用错项相减法，我们有：

期望值的错项相减法： \( E(X) = \frac{1}{p} - 1 \)

另一方法则是逐项积分求和，这里我们得到：

期望值的逐项积分法： \( E(X) = \int_1^{\infty} (1 - p)^{x-1} \cdot x \, dx \) \[ E(X) = \frac{1}{p} \]

这两种方法揭示了几何分布期望值的本质：每一次尝试的成功率虽低，但期望值恰好等于成功概率的倒数，因为平均需要尝试的次数正好对应于成功的概率。

接下来是方差的探讨。同样，我们有两种方法来计算几何分布的方差。错项相减法的表达式是：

方差的错项相减法： \( Var(X) = \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p} + 1 \)

而逐项积分法则需要对上述期望值的结果进行导数运算，我们得到：

方差的逐项积分法： \( Var(X) = \int_1^{\infty} (1 - p)^{x-1} \cdot x^2 \, dx - [E(X)]^2 \) \[ Var(X) = \frac{1}{p^2} \]

方差的结果同样直观，它体现了每次尝试的独立性和分布的不确定性：尽管期望值是成功的期望次数，方差则告诉我们每次尝试的波动性。

几何分布的期望和方差，就像两个镜子，反射出这个简单概率模型背后的深意：期望值揭示了平均等待时间，而方差则描绘了这个等待过程中的波动程度。通过这些数学工具，我们能更好地理解和应用几何分布于各种实际问题中。