如题所述
数的产生：
大约在5000年以前，埃及的祭司已在一种用芦苇制成的草纸上书写数的符号，而美索不达米亚的祭司则是写在松软的泥板上。
他们除了仍用单划表示“－”以外，还用其它符号表示“+”或者更大的自然数；他们重复地使用这些单划和符号，以表示所需要的数字。
公元前1500年，南美洲秘鲁印加族（印第安人的一部分）习惯于“结绳记数”──每收进一捆庄稼，就在绳子上打个结，用结的多少来记录收成。
“结”与痕有一样的作用，也是用来表示自然数的。根据我国古书《易经》的记载，上古时期的中国人也是“结绳而治”，就是用在绳上打结的办法来记事表数。
后来又改为“书契”，即用刀在竹片或木头上刻痕记数．用一划代表“一”。直到今天，我们中国人还常用“正”字来记数．每一划代表“一”。
数的进化
自然数添上分数，再添上负数就成为了有理数（当然还要添上0）；有理数再加无理数就成为实数。可是光有实数还不够，再加上新来的虚数，这就诞生了更广泛的数——复数。
为什么在数的世界里，要从自然数扩大到实数呢？仔细想一想，这里有个一贯的原则。比如，有一个人只知道10以内的数。
1，2，3，…，10
当然，对这个人来说，加法也是不太行的。也就是说，即使取其中任意两个数相加，也有可能答不上来。如果是2+3，他知道是5。要是6+7的话，他只好说“不知道”了。即使他知道10000以内的数也是一样，因为6000+7000的答案不可能在10000以内的数里找出来。
因此，为了无限制地进行＋运算，就必须有无限多的自然数。这样就产生了所谓无限多的自然数的整体的想法，这就是
1，2，3，…
想象有这样一个自然数的整体，就可以自由地进行＋运算了。这时，自然数的整体对于＋来说叫做闭合。由于乘法也是自然数的相乘，是加法的重复，因此也能自由地进行。也就是说，自然数的整体对于×是闭合的。
所以在只考虑＋或×的时候，只要自然数就够用，没有必要考虑新的数。
可是，要考虑×的逆运算÷的时候，自然数就不再闭合。因为任意取两个自然数作除法，结果不一定是自然数。例如，2÷3的结果就不是自然数。
自然数的范围太狭窄了，要想自由地进行除法运算，就必须增加新的数，这就是分数。在自然数与分数合起来的更宽广的数的范围内，＋，×，÷就可以自由地进行。
然而，想到＋的逆运算－的时候，这个范围又窄了。因为不能小数减大数，例如2-5，即使写出这个式子，也得不出答案。
为了让这个式子也能有答案，就必须想出-3这样一个新数。也就是说，要自由地做－运算，需要有一种新的数——负数。
把数的范围扩大到正的自然数、负的自然数及分数，即有理数时，＋，－，×，÷四则运算可以无限制地进行。换句话说，有理数对于四则运算是闭合的。
19世纪，数学家伽罗瓦把对于四则运算闭合的数的集合叫做域。按照这个叫法，也可以说整个有理数的集合是域。当然，叫域的除了有理数之外还有许多，对于我们来说，最熟悉的首先就是有理数。
当数的世界扩展到有理数时，＋，－，×，÷计算虽然能自由地进行，但是还不具有连续性，所以仍然不能表示直线上所有的点。填满这些空缺就需要无理数，有理数与无理数合起来就是实数，有了实数就可以表示直线上所有的点。
总而言之，实数的集合就是对于＋，－，×，÷闭合的一个域，同时还具有连续性。到此为止，似乎可以认为数的世界扩展暂时停止了。
可是，如果实数世界就是终点，数的交响乐不过是缺少最后乐章的未完成的交响乐而已。随着实数而来的最后的乐章就是复数。
