如图，已知点F为抛物线C:y=2px(p>0)的焦点，过焦点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且当直线l的倾斜角a为π/3，有|AB|=4/3
求抛物线C方程
已知函数f(x)=ln(x-1+1/a)
当0<a<1时，求函数F(x)=f(x)-m+a/x的单调区间、单调性
是y^2=2px
答案：
已知抛物线C:y^2=2px（p>0）过焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A，B两点,若向量AF=3向量FB，则k=√3
过程：
设抛物线C:y^2=2px（p>0）的准线为L
过A,作AC⊥L于C，过B作BD⊥L于D,过B作BE⊥AC
∵直线过焦点F，且斜率为k（k>0），与C相交于A，B两点
∴AF=AC,BF=BD
,∵向量AF=3向量FB
设BF长度为P
∴AF=AC=3P,BF=BD=P
AB=4P
∴AE=3P-P=2P
∴由勾股定理得BE=2√3P
∴斜率k=2√3P/2P=√3f(x)=ln1/x-ax2+x(a >0)的定义域是x>0。
f'(x)=-1/x-2ax+1=(-2ax^2+x-1)/x=[-2a(x-1/4a)^2+1/8a-1]/x
当a>=1/8，即1/8a-1<=0时，f'(x)<=0，f(x)是单调递减函数。
当0<x<1/8时，设x1=1/4a-√(1/16a^2-1/2a)，x2=1/4a+√(1/16a^2-1/2a)。
f(x)在(0,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,+无穷)上递减，不单调。
所以，若f(x)是单调函数，则a的取值范围是[1/8,+无穷)
已知抛物线C:y^2=2px（p>0）过焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A，B两点,若向量AF=3向量FB，则k=√3
过程：
设抛物线C:y^2=2px（p>0）的准线为L
过A,作AC⊥L于C，过B作BD⊥L于D,过B作BE⊥AC
∵直线过焦点F，且斜率为k（k>0），与C相交于A，B两点
∴AF=AC,BF=BD
,∵向量AF=3向量FB
设BF长度为P
∴AF=AC=3P,BF=BD=P
AB=4P
∴AE=3P-P=2P
∴由勾股定理得BE=2√3P
∴斜率k=2√3P/2P=√3f(x)=ln1/x-ax2+x(a >0)的定义域是x>0。
f'(x)=-1/x-2ax+1=(-2ax^2+x-1)/x=[-2a(x-1/4a)^2+1/8a-1]/x
当a>=1/8，即1/8a-1<=0时，f'(x)<=0，f(x)是单调递减函数。
当0<x<1/8时，设x1=1/4a-√(1/16a^2-1/2a)，x2=1/4a+√(1/16a^2-1/2a)。
f(x)在(0,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,+无穷)上递减，不单调。
所以，若f(x)是单调函数，则a的取值范围是[1/8,+无穷)
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第1个回答 2012-12-20
已知抛物线C:y^2=2px（p>0）过焦点F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A，B两点,若向量AF=3向量FB，则k=√3
过程：
设抛物线C:y^2=2px（p>0）的准线为L
过A,作AC⊥L于C，过B作BD⊥L于D,过B作BE⊥AC
∵直线过焦点F，且斜率为k（k>0），与C相交于A，B两点
∴AF=AC,BF=BD
,∵向量AF=3向量FB
设BF长度为P
∴AF=AC=3P,BF=BD=P
AB=4P
∴AE=3P-P=2P
∴由勾股定理得BE=2√3P
∴斜率k=2√3P/2P=√3f(x)=ln1/x-ax2+x(a >0)的定义域是x>0。
f'(x)=-1/x-2ax+1=(-2ax^2+x-1)/x=[-2a(x-1/4a)^2+1/8a-1]/x
当a>=1/8，即1/8a-1<=0时，f'(x)<=0，f(x)是单调递减函数。
当0<x<1/8时，设x1=1/4a-√(1/16a^2-1/2a)，x2=1/4a+√(1/16a^2-1/2a)。
f(x)在(0,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,+无穷)上递减，不单调。
所以，若f(x)是单调函数，则a的取值范围是[1/8,+无穷)
过程：
设抛物线C:y^2=2px（p>0）的准线为L
过A,作AC⊥L于C，过B作BD⊥L于D,过B作BE⊥AC
∵直线过焦点F，且斜率为k（k>0），与C相交于A，B两点
∴AF=AC,BF=BD
,∵向量AF=3向量FB
设BF长度为P
∴AF=AC=3P,BF=BD=P
AB=4P
∴AE=3P-P=2P
∴由勾股定理得BE=2√3P
∴斜率k=2√3P/2P=√3f(x)=ln1/x-ax2+x(a >0)的定义域是x>0。
f'(x)=-1/x-2ax+1=(-2ax^2+x-1)/x=[-2a(x-1/4a)^2+1/8a-1]/x
当a>=1/8，即1/8a-1<=0时，f'(x)<=0，f(x)是单调递减函数。
当0<x<1/8时，设x1=1/4a-√(1/16a^2-1/2a)，x2=1/4a+√(1/16a^2-1/2a)。
f(x)在(0,x1)上递减，在(x1,x2)上递增，在(x2,+无穷)上递减，不单调。
所以，若f(x)是单调函数，则a的取值范围是[1/8,+无穷)
