15.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弦长之比为3：1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为√5/5,求该圆方程。
已知圆满足①截Y轴所得弦长为2 ②被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 ：1 ③圆心到直线L：X-2Y=0的距离为√5/5，求圆的方程
解：设圆的方程为（x-a)²+(y-b)²=R²........(1)
圆心M（a,b)到直线x-2y=0的距离为√5/5，故有等式：
｜a-2b｜/√5=√5/5,故
a-2b=-1..................(2)
或a-2b=1.................(3)
设圆与Y轴的交点为（0，y1)和(0,y2),将x=0代入（1）式，得：
y²-2by+a²+b²-R²=0
因“圆截Y轴所得弦长为2”，即｜y1-y2｜=2.按韦达定理，有等式：
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2
=4b²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-a²)=4
于是得：R²-a²=1...........(4)
又“被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 ：1”，设劣弧S1所对的圆心
角为θ1，优弧S2所对的圆心角为θ2，则
S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1，故θ1=90˚，θ2=270˚.
设圆弧与X轴相交于A，B两点，则△AMB是等腰直角三角形，因此弦
长｜AB｜=｜X1-X2｜=（√2)R.
令（1）式中的y=0,便得：
x²-2ax+a²+b²-R²=0
于是由韦达定理有：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-b²)=2R²
即R²-2b²=0...................(5)
由（2）（4）（5）联立解得：a=1,b=1,R²=2.
此时圆的方程为：（x-1)²+(y-1)²=2
由（3）（4）（5）联立解得：a=-1,b=-1,R²=2.
此时圆的方程为：(x+1)²+(y+1)²=2
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解：设圆的方程为（x-a)²+(y-b)²=R²........(1)
圆心M（a,b)到直线x-2y=0的距离为√5/5，故有等式：
｜a-2b｜/√5=√5/5,故
a-2b=-1..................(2)
或a-2b=1.................(3)
设圆与Y轴的交点为（0，y1)和(0,y2),将x=0代入（1）式，得：
y²-2by+a²+b²-R²=0
因“圆截Y轴所得弦长为2”，即｜y1-y2｜=2.按韦达定理，有等式：
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2
=4b²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-a²)=4
于是得：R²-a²=1...........(4)
又“被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 ：1”，设劣弧S1所对的圆心
角为θ1，优弧S2所对的圆心角为θ2，则
S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1，故θ1=90˚，θ2=270˚.
设圆弧与X轴相交于A，B两点，则△AMB是等腰直角三角形，因此弦
长｜AB｜=｜X1-X2｜=（√2)R.
令（1）式中的y=0,便得：
x²-2ax+a²+b²-R²=0
于是由韦达定理有：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-b²)=2R²
即R²-2b²=0...................(5)
由（2）（4）（5）联立解得：a=1,b=1,R²=2.
此时圆的方程为：（x-1)²+(y-1)²=2
由（3）（4）（5）联立解得：a=-1,b=-1,R²=2.
此时圆的方程为：(x+1)²+(y+1)²=2
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第1个回答 2013-02-07
设圆心为P(a,b),半径为r,
则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故
r^2=2b
又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有
r^2=a^2+1
从而得
2b^2-a^2=1
又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
d=|a-2b|/根5
--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1
当a=b时上式等号成立,
此时,5d^2=1,从而d取得最小值.
由此有{a=b,2b^2-a^2=1}
--->a=b=1,或a=b=-1
由于r^2=2b^2,则r=根2
于是,所求圆的方程是:
(x-1)^2+(y-1)^2=2,
或(x+1)^2+(y+1)^2=2.
则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.
由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故
r^2=2b
又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有
r^2=a^2+1
从而得
2b^2-a^2=1
又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为
d=|a-2b|/根5
--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1
当a=b时上式等号成立,
此时,5d^2=1,从而d取得最小值.
由此有{a=b,2b^2-a^2=1}
--->a=b=1,或a=b=-1
由于r^2=2b^2,则r=根2
于是,所求圆的方程是:
(x-1)^2+(y-1)^2=2,
或(x+1)^2+(y+1)^2=2.
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