1.4个相同的小球，全部放入3个不同的盒子中，可以空盒，有多少种不同的放法？
2.4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子中，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
3.由三个数字123组成的五位数中，123都至少出现一次，则这样的五位数的个数为？
4.反复抛掷一颗骰子，依次记录下每次落地时向上的点数，当记有三个不同点数时停止抛掷，若恰好抛掷五次停止，则记录这五次点数的所有可能的不同记录结果有多少种？
跪求大神解答，排列组合题我总是列不出正确的式子，这几道题麻烦列一下式子，讲一下为什么这么列的，谢谢
第1个回答 2013-02-06
1、O|OO|O，例：（1，2，1）球隔板模型 4个相同的球，两个隔板，共6个位置，隔板可以重合，计数就是6个位置中取2个（作为隔板，其余放球），C(6,2)或者此题可以映射到不定方程 x1+x2+x3=4 的非负整数解组数
一般的 不定方程 x1+x2+...+xn = r 的非负整数解组数 C(n+r-1,r) 理解成 r个球中放入 n-1 个隔板，隔成n堆，可空，计数等价于 r+n-1 个位置中挑选出 n-1 个隔板的位置
2、A|B||CD，例：（1，1，0，2）
这时，球不同，盒子不同，关键考虑 球要全排列，还是盒子要全排列
b1:A b2:B b3:empty b4:CD
b1:A b2:B b3:empty b4:DC
显然，上面我们对球做了不同排列，但其实两种放法是一样的。所以，应当先进行组合（即盒无区分，无区分分堆），再对盒子进行全排列（此题盒子和球数相等看不出来）
O|O||OO，可以看作 单隔板和双隔板两个隔板隔出3堆，每堆非空，或者映射成
不定方程 x1+x2+x3 = 4 的正整数解组数 计数 C(3,2) = 3
C(3,2)4! = 72
3、a1a2a3a4a5，例：122113、11123
（1）共1个1，分1个2，2个2，3个2
C(5,1)(C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)) = 70
（2）共2个1，分1个2，2个2
C(5,2)(C(3,1)+C(3,2))=60
（3）共3个1，分1个2
C(5,3)C(2,1)=20
70+60+20 = 150 用了乘法原理分步和加法原理分类
4、点数集合A={1,2,3,4,5,6}，5次停止的一个例子：11443
可以这样考虑，先选出3个不同的点数xyz，有C(6,3)
第二步，考虑如下问题 {x,y,z}中取出元素进行排列，排5个元素，x,y,z必须都取到
这个问题就是上面的第3题，所以
C(6,3)*150 = 3000
计数题目 似乎就是用到：加法分类、乘法分步、球隔板模型、不定方程解模型、容斥原理、递推法、母函数法等
一般的 不定方程 x1+x2+...+xn = r 的非负整数解组数 C(n+r-1,r) 理解成 r个球中放入 n-1 个隔板，隔成n堆，可空，计数等价于 r+n-1 个位置中挑选出 n-1 个隔板的位置
2、A|B||CD，例：（1，1，0，2）
这时，球不同，盒子不同，关键考虑 球要全排列，还是盒子要全排列
b1:A b2:B b3:empty b4:CD
b1:A b2:B b3:empty b4:DC
显然，上面我们对球做了不同排列，但其实两种放法是一样的。所以，应当先进行组合（即盒无区分，无区分分堆），再对盒子进行全排列（此题盒子和球数相等看不出来）
O|O||OO，可以看作 单隔板和双隔板两个隔板隔出3堆，每堆非空，或者映射成
不定方程 x1+x2+x3 = 4 的正整数解组数 计数 C(3,2) = 3
C(3,2)4! = 72
3、a1a2a3a4a5，例：122113、11123
（1）共1个1，分1个2，2个2，3个2
C(5,1)(C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)) = 70
（2）共2个1，分1个2，2个2
C(5,2)(C(3,1)+C(3,2))=60
（3）共3个1，分1个2
C(5,3)C(2,1)=20
70+60+20 = 150 用了乘法原理分步和加法原理分类
4、点数集合A={1,2,3,4,5,6}，5次停止的一个例子：11443
可以这样考虑，先选出3个不同的点数xyz，有C(6,3)
第二步，考虑如下问题 {x,y,z}中取出元素进行排列，排5个元素，x,y,z必须都取到
这个问题就是上面的第3题，所以
C(6,3)*150 = 3000
计数题目 似乎就是用到：加法分类、乘法分步、球隔板模型、不定方程解模型、容斥原理、递推法、母函数法等
