向量a+向量b+向量c=0,证明a*b=b*c=c*a

这题目明显少条件，这是考验人那：
先举个例子，在直角△ABC中，∠C=π/2，∠A=π/6，∠B=π/3，且：|BC|=1
故：|CA|=sqrt(3)，|AB|=2。三边对应向量分别为a，b，c
即：a=BC，b=CA，c=AB，则：a+b+c=0，这时，a·b=0，b·c=|b|*|c|cos(π/6)=3
c·a=|c|*|a|cos(π/3)=1，是不是不相等呢？
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你的题目少个条件：|a|=|b|=|c|。a+b+c=0，则：-c=a+b，故：(a+b)·(a+b)=|c|^2
即：|a|^2+|b|^2+2a·b=|c|^2，即：a·b=(|a|^2+|b|^2-|c|^2)/2=|a|^2/2
同理：(b+c)·(b+c)=|a|^2，即：|b|^2+|c|^2+2b·c=|a|^2，即：b·c=(|b|^2+|c|^2-|a|^2)/2=|a|^2/2
(a+c)·(a+c)=|b|^2，即：|a|^2+|c|^2+2a·c=|b|^2，即：a·c=(|a|^2+|c|^2-|b|^2)/2=|a|^2/2
故：a·b=b·c=c·a
-----------------------------这个就比较简单了：
因：a=-(b+c)，故：a×b=-(b+c)×b=-b×b-c×b=-c×b=b×c
b=-(a+c)，故：b×c=-(a+c)×c=-a×c-c×c=-a×c=c×a
故：a×b=b×c=c×a----------------
注意：a×a=b×b=c×c=0

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