已知向量a，向量b都是非零向量，且向量a+3向量b与7向量a-5向量b垂直，向量a-4向量b与7向量a-2向量b垂直。求向量a与向量b的夹角。
以下字母均表示向量。*表示点乘。
依题意，(a+3b)*(7a-5b)=0 ，(a-4b)*(7a-2b)=0
展开得，
a*7a-a*5b+3b*7a-3b*5b=0
a*7a-a*2b-4b*7a+4b*2b=0
7|a|^2+16a*b-15|b|^2=0 (1)
7|a|^2-30a*b+8|b|^2=0 (2)
(1)*15+(2)*8
105|a|^2-225|b|^2+56|a|^2+64|b|^2=0
|a|^2=|b|^2
代入(1),16a*b=8|b|^2 => a*b/|b|^2=1/2
设夹角为X, sinX=a*b/|a||b|=a*b/|b|^2=1/2
=> X=30°
依题意，(a+3b)*(7a-5b)=0 ，(a-4b)*(7a-2b)=0
展开得，
a*7a-a*5b+3b*7a-3b*5b=0
a*7a-a*2b-4b*7a+4b*2b=0
7|a|^2+16a*b-15|b|^2=0 (1)
7|a|^2-30a*b+8|b|^2=0 (2)
(1)*15+(2)*8
105|a|^2-225|b|^2+56|a|^2+64|b|^2=0
|a|^2=|b|^2
代入(1),16a*b=8|b|^2 => a*b/|b|^2=1/2
设夹角为X, sinX=a*b/|a||b|=a*b/|b|^2=1/2
=> X=30°
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