计算摆线长度

dx/dt=a(1-cost), dy/dt=asint

由公式:

弧长S=∫√[(dx/dt)^2+(dy/dt)^2] dt 积分从0到2π

 =∫√a^2[1-2cost+(cost)^2]+(asint)^2] dt

 =a∫√(2-2cost) dt

 =a∫2|sin(t/2)| dt

 =8πa

当圆滚动一周，即 j从O变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第一拱。再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第二拱，继续滚动，可得第三拱，第四拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a（即圆的直径），拱宽为2πa（即圆的周长）。

性质

到17 世纪，人们发现摆线具有如下性质：

1、它的长度等于旋转圆直径的 4 倍。尤为令人感兴趣的是，它的长度是 一个不依赖于π的有理数。

2、在弧线下的面积，是旋转圆面积的三倍。

3、圆上描出摆线的那个点，具有不同的速度——事实上，在特定的地方它甚至是静止的。

4、当弹子从一个摆线形状的容器的不同点放开时，它们会同时到达底部。