如题所述
1、三角形ABC,角A=60°,∠B、∠C的角平分线BE与CD交与点O求:OE=OD.
在BC上取点G,使得BD=BG
因为∠A=60°
所以∠BOC=120°
因为∠DOB=∠EOC(对顶角)
所以∠DOB=∠EOC=60°(360-120)/2
尤SAS得△DBO≌△BOG
所以DO=G0 ∠DOB=∠GOB=60°
所以∠GOC=∠BOG=60°
再由ASA得△OGC≌△OEC
所以OG=OE
因为OD=OG
所以OE=OD
2、已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,AE⊥BD于E, ∠ADB=∠CDF,延长AE交BC于F,求证:D为AC的中点
作D关于BC的对称点G连接FG、CG
由于角ADB=角BAF 所以角FDC=角BAF
而角B=角C=45°
所以角AFB=180°-角B-角BAF=180°-角C-角CDF=角DFG
所以角AFD+角DFG=角AFD+角DFC+角AFB=180°
所以A、F、G共线
又因为角CAG=角ABD
角ACG=2*45°=90°=角BAD
所以三角形BAD全等于三角形ACG
所以CG=AD
又CG=DC
所以AD=DC
3.已知三角形ABC中,AD为BC边的中线,E为AC上一点,BE与AD交于F,若AE=EF,求证:AC=BF
延长AD到M使DM=AD,连BM,CM
∵AD=DM,BD=CD
∴ABMC为平行四边形(对角线互相平分)
∴AC‖BM,AC=BM(等于那个最后再用到)
∴∠DAC=∠DMB(∠DAC即∠EAF,∠DMB即∠BMF下面用到)(内错角相等)……①
在三角形AEF中,
∵AE=EF
∴∠EAF=∠EFA (等腰三角形)……②
又∵∠EFA=∠BFM(对顶角相等)……③
由①②③,得∠EAF=∠EFA=∠BFM=∠BMF
在三角形BFM中,
∵∠BFM=∠BMF
∴三角形BFM为等腰三角形,边BF=BM
由前面证得的AC=BM,得AC=BF
4.已知三角形ABC,AD为BC边上的中线,E为AC上一点,AD、BE交于点F,且AE=EF,请问BF=AC吗?
延长AD并过B点作AC的平行线,相交于G点
则AC//BG,AE=EF,
可得BF=BG
在三角形BDG和三角形CDA中
BD=CD,<ADC=<GDB,<DBG=<ACD,
两三角形全等
所以AC=BG=BF
5、在△ABC中,∠ACB是直角,∠B= 60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。证明FE=FD。
证明:作FM⊥BC于M,FN⊥AB于N
∵∠B=60°
∴∠MFN=120°
∵AD,CE是角平分线
∴FM=FN
∠FAC+∠FCA=15°+45°=60°
∴∠AFC=120°
∴∠EFD=120°
∴∠EFN=∠DFM
∵FE=FM,∠FNE=∠FMD
∴△FEN≌△FMD
∴FD=FE
6、点C在BD上,AC垂直BD于点C ,BE垂直AD于点E,CF=CD,那么AD和BF相等吗,为什么
相等。因为,AC垂直于BD、BE垂直于AD,所以,三角形ACD和三角形BCF是直角三角形。又因为,CF=CD,所以,三角形ACD和三角形BCF是全等(两角一边分别相等)。所以AD和BF相等
7、在三角形ABC中,AB=AC,AD是高,求证:角BAD=角CAD。
AB=AC,AD=AD,角ADB=角ADC=90度,所以三角形ABD全等于三角形ACD,所以角BAD=角CAD
在BC上取点G,使得BD=BG
因为∠A=60°
所以∠BOC=120°
因为∠DOB=∠EOC(对顶角)
所以∠DOB=∠EOC=60°(360-120)/2
尤SAS得△DBO≌△BOG
所以DO=G0 ∠DOB=∠GOB=60°
所以∠GOC=∠BOG=60°
再由ASA得△OGC≌△OEC
所以OG=OE
因为OD=OG
所以OE=OD
2、已知在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,AE⊥BD于E, ∠ADB=∠CDF,延长AE交BC于F,求证:D为AC的中点
作D关于BC的对称点G连接FG、CG
由于角ADB=角BAF 所以角FDC=角BAF
而角B=角C=45°
所以角AFB=180°-角B-角BAF=180°-角C-角CDF=角DFG
所以角AFD+角DFG=角AFD+角DFC+角AFB=180°
所以A、F、G共线
又因为角CAG=角ABD
角ACG=2*45°=90°=角BAD
所以三角形BAD全等于三角形ACG
所以CG=AD
又CG=DC
所以AD=DC
3.已知三角形ABC中,AD为BC边的中线,E为AC上一点,BE与AD交于F,若AE=EF,求证:AC=BF
延长AD到M使DM=AD,连BM,CM
∵AD=DM,BD=CD
∴ABMC为平行四边形(对角线互相平分)
∴AC‖BM,AC=BM(等于那个最后再用到)
∴∠DAC=∠DMB(∠DAC即∠EAF,∠DMB即∠BMF下面用到)(内错角相等)……①
在三角形AEF中,
∵AE=EF
∴∠EAF=∠EFA (等腰三角形)……②
又∵∠EFA=∠BFM(对顶角相等)……③
由①②③,得∠EAF=∠EFA=∠BFM=∠BMF
在三角形BFM中,
∵∠BFM=∠BMF
∴三角形BFM为等腰三角形,边BF=BM
由前面证得的AC=BM,得AC=BF
4.已知三角形ABC,AD为BC边上的中线,E为AC上一点,AD、BE交于点F,且AE=EF,请问BF=AC吗?
延长AD并过B点作AC的平行线,相交于G点
则AC//BG,AE=EF,
可得BF=BG
在三角形BDG和三角形CDA中
BD=CD,<ADC=<GDB,<DBG=<ACD,
两三角形全等
所以AC=BG=BF
5、在△ABC中,∠ACB是直角,∠B= 60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F。证明FE=FD。
证明:作FM⊥BC于M,FN⊥AB于N
∵∠B=60°
∴∠MFN=120°
∵AD,CE是角平分线
∴FM=FN
∠FAC+∠FCA=15°+45°=60°
∴∠AFC=120°
∴∠EFD=120°
∴∠EFN=∠DFM
∵FE=FM,∠FNE=∠FMD
∴△FEN≌△FMD
∴FD=FE
6、点C在BD上,AC垂直BD于点C ,BE垂直AD于点E,CF=CD,那么AD和BF相等吗,为什么
相等。因为,AC垂直于BD、BE垂直于AD,所以,三角形ACD和三角形BCF是直角三角形。又因为,CF=CD,所以,三角形ACD和三角形BCF是全等(两角一边分别相等)。所以AD和BF相等
7、在三角形ABC中,AB=AC,AD是高,求证:角BAD=角CAD。
AB=AC,AD=AD,角ADB=角ADC=90度,所以三角形ABD全等于三角形ACD,所以角BAD=角CAD
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