BC上一点,过点P作Y轴平行线,交抛物线于点D,当△BDC面积最大时,求点P的坐标。(3)如图2所示,抛物线顶点为E,EF⊥X轴于F点,M(m,0)是x轴上一动点,N是线段EF上一点,若∠MNC=90°,请指出实数m的变化范围,并说明理由
答:
(1)把点A(-1,0)和点C(0,3)代入抛物线方程y=-x^2+bx+c得:
-1-b+c=0
0+0+c=3
解得:b=2,c=3
所以:抛物线的解析式为y=-x^2+2x+3
(2)抛物线y=-x^2+2x+3与x轴的另外一个交点B为(3,0)。
直线BC为:y-0=(x-3)(0-3)/(3-0)=-x+3,即:y=-x+3.
设线段BC内的点P为(p,-p+3),则抛物线上点D为(p,-p^2+2p+3),0<p<3.
PD=-p^2+2p+3-(-p+3)=-p^2+3p
点B到直线PD的距离为:3-p
点C到直线PD的距离为:p-0=p
所以三角形BDC的面积:
S=SΔBPD+SΔCPD
=PD*点B到直线PD的距离/2+PD*点C到直线PD的距离/2
=(-p^2+3p)*(3-p+p)/2
=-3p^2/2+9p/2
=-(3/2)(p-3/2)^2+27/8
当p-3/2=0即p=3/2时,三角形BPC面积S最大为27/8。此时点P为(3/2,3/2).
(3)抛物线y=-x^2+2x+3的顶点E为(1,4),EF垂直x轴交x轴于点F(1,0)。
设EF线段上点N为(1,n),0<n<4;点M(m,0),点C(0,3)。
因为:∠MNC=90°
所以:MN⊥NC
所以:MN斜率和NC斜率的乘积为-1.
3.1)当点N为(1,3)即NC//x轴时,点M为(1,0)与点F重合,m=1符合要求;
3.2)当NC不平行于x轴时,KNC=(n-3)/(1-0)=n-3;KMN=n/(1-m);
所以:KNC*KMN=-1
所以:(n-3)*[n/(1-m)]=-1
解得:m=n^2-3n+1=(n-3/2)^2-5/4
因为:0<n<4
所以:-5/4<=m<5.
(1)把点A(-1,0)和点C(0,3)代入抛物线方程y=-x^2+bx+c得:
-1-b+c=0
0+0+c=3
解得:b=2,c=3
所以:抛物线的解析式为y=-x^2+2x+3
(2)抛物线y=-x^2+2x+3与x轴的另外一个交点B为(3,0)。
直线BC为:y-0=(x-3)(0-3)/(3-0)=-x+3,即:y=-x+3.
设线段BC内的点P为(p,-p+3),则抛物线上点D为(p,-p^2+2p+3),0<p<3.
PD=-p^2+2p+3-(-p+3)=-p^2+3p
点B到直线PD的距离为:3-p
点C到直线PD的距离为:p-0=p
所以三角形BDC的面积:
S=SΔBPD+SΔCPD
=PD*点B到直线PD的距离/2+PD*点C到直线PD的距离/2
=(-p^2+3p)*(3-p+p)/2
=-3p^2/2+9p/2
=-(3/2)(p-3/2)^2+27/8
当p-3/2=0即p=3/2时,三角形BPC面积S最大为27/8。此时点P为(3/2,3/2).
(3)抛物线y=-x^2+2x+3的顶点E为(1,4),EF垂直x轴交x轴于点F(1,0)。
设EF线段上点N为(1,n),0<n<4;点M(m,0),点C(0,3)。
因为:∠MNC=90°
所以:MN⊥NC
所以:MN斜率和NC斜率的乘积为-1.
3.1)当点N为(1,3)即NC//x轴时,点M为(1,0)与点F重合,m=1符合要求;
3.2)当NC不平行于x轴时,KNC=(n-3)/(1-0)=n-3;KMN=n/(1-m);
所以:KNC*KMN=-1
所以:(n-3)*[n/(1-m)]=-1
解得:m=n^2-3n+1=(n-3/2)^2-5/4
因为:0<n<4
所以:-5/4<=m<5.
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