柯西不等式的常见形式

公式变形：
等号成立条件：当且仅当
（即
）时。
一般形式
等号成立条件：
，或
中有一为零。
上述不等式等同于概述图中的不等式。
一般形式推广
此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m×n矩阵中，各列元素之和的几何平均不小于各行元素的几何平均之和。二维形式是卡尔松不等式n=2时的特殊情况。
推广：
等号成立条件：
（即
）。
设V是一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记做
，它具有以下性质：
1、
2、
3、
4、
当且仅当
并定义
α
的长度
，则柯西不等式表述为：

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