多重分形模型

当今分形理论的主旋律是多重分形（Multi-fractals），因为简单分形只用一个维数来描述其整体的特征，不能完整地刻画大自然的复杂性和多样性.对于许多复杂的现象，它们包含多个层次，每个层次具有不同的统计特征.比如，对湍流、混沌和分形生长类型的非均匀复杂几何体，必须用多个维数来描述，才能全面刻画其特征.多重分形就是针对这类情况而提出的新概念.

多重分形也称为分形测度.它是研究一种物理量在一个支撑（support）上的分布状况，换句话说，多重分形理论是定义在分形上的多个标度指数的奇异测度所组成的无限集合.多重分形理论定量刻画了分形测度在支撑上的分布状况.

3.5.1 矿床分布模型

Mandelbort认为：“高品位的铜矿的分布是不均匀的，主要集中在世界少数地区.如果进一步考察其中一个地区铜矿的分布，就会发现其分布仍然是不均匀的，主要集中在少数几个子区域之中.从统计意义来说，可以认为：在每一储铜区，无论其区域大小，高品位的铜矿的相对分布都是相同的.”我们现在设想一个矿床分布模型（图3.8）.为了讨论方便，只限于一维的模型.假定有一单位长度的线性地区.第一步，将线性区分成三段，每段长1/3.两端的两段，矿产密度（聚集概率）是P₁，中间一段为P₂，且P₂＞P₁（2P₁+P₂=1），显然，矿物向中间富集［见图3.8（a）］.第二步，在0～1/3，1/3～2/3，2/3～1的三段地区再一次重复上述富集过程，9个子段的矿物浓度为，矿物的富集进一步集中在更少数地区[见图3.8（b）].重复上述富集过程无穷次，富集作用完成，矿产分布形成.图3.8（c）表示第三步（k=3）的结果，图3.8（d）给出无穷步以后的情况.从上面的例子我们可以看出，最终形成的矿产是分形的，但十分复杂.为了完整地描述它，仅用单一一个分维数是不够的，需要多个（甚至无穷多个）参量才能描述它.

从以上模型可以看出：①成矿作用具有相似性，无论哪个地段的成矿作用过程都是相似的，这就造成矿床及元素的空间分布服从分形关系；②成矿富集过程，即地质作用的多次迭加，类似于数学的多次迭加；③该模型可以用于解释一个问题，“地质条件相似，勘查程度相等的地区，产出的矿床储量多少相差极为悬殊”.

图3-8 成矿模型示意图

3.5.2 多重分形模型

我们把研究对象划分为N个不同的区域S_i（i=1，2，…，N）.设r_i为第i个区域S_i线度大小，P_i为该区域S_i的测度（例如概率），不同的区域S_i，P_i也不同，可用不同的标度指数α_i来表征.

分形混沌与矿产预测

若线度大小趋于零，则上式化为：

分形混沌与矿产预测

其中α_i是分形体某小区域的分维数，称为局部分维或标定指数，一般因区域而异，其值大小反映了该区域生成概率的大小.

在α_i中，有相同α值的区域数目N_i（r）也与区域大小r_i有关，即：

分形混沌与矿产预测

其中f（α）表示α在总的分布中所占的分量，它是α的连续函数，正是它构成了多重分形谱，即f（α）谱.f（α）的物理意义是具有相同α值的子集的分维数.一个复杂的分形体，它的内部可分为一系列不同α值（P_i值）所表示的子集.这样f（α）就给出了这一系列子集的分形特征.

可以证明，f（α）是α的凸函数，即f（α）曲线是一条凸曲线，其峰值f（α）=D₀，即相似维或容量维.f（α）=α处的值即是信息维数D₁.

多重分形用α表示分形体小区域的分维数，因为小区域数目很大，于是可得一个由不同α所组成的无穷序列构成的谱并用f（α）表示.f（α）和α是描述多重分形的一套参量.

我们从信息论角度也可以选另一套描述多重分形的参量q和D_q.当r→0时，我们可得：

分形混沌与矿产预测

其中称为q次概率矩，D_q称为q次广义分维数（或q次信息维），q是表征多重分形不均匀程度的量，C＞0称为比例常数，τ（q）=（q-1）D_q是q的函数，∑P_i=1.（3.5.4）式称为多重分形模型.通过Legender变换可得（具体论述见文献陈禺页，陈凌.分形几何学，1998年，p.127）：

分形混沌与矿产预测

从上式可以看出，若有二个区域m和j的概率分别是P_m和P_j，且P_m≫P_j.当q≫1时，在∑求和中显然是起主要作用，这时的I_q（r）和D_q主要反映的是概率高（或稠密的）区域的性质.在q→∞极限条件下，可以只考虑P_max而忽略其他的小概率，这样就大大简化了I_q（r）的计算.反之，当q≪1时，I_q（r）和D_q主要反映的是分布中概率比较小（或稀疏的）区域的性质.多重分形是一个由有限几种或大量具有不同分形行为的子集合叠加而组成的非均匀分维分布的奇异集合，因此，多重分形概念是原始分形概念对于非均匀分形的自然推广.利用多重分形这个概念，使我们能分层次地了解分形内部的精细结构.

将式（3.5.1）和（3.5.3）代入（3.5.4），可得：

分形混沌与矿产预测

由于r很小，则在求和时，I_q（r）仅当αq-f（α）取极小值时贡献最大，由于α随q不同而变化，故极小值条件为：

即，此式说明f（α）的斜率数值就是q阶矩的阶数.

即，此式说明f（α）是一个上凸曲线.

由上面二式可以求出当αq-f（α）取极小值时α的值α^*（q）来.这时I_q（r）可以写成：

分形混沌与矿产预测

代入（3.5.4），可得：

分形混沌与矿产预测

式（3.5.9）表明，如果知道α和它的谱f（α），就可以求出D_q来.反之，如果知道了D_q，我们也可以求出α来.将式（3.5.9）对q求微商，可得：

分形混沌与矿产预测

上述关系式（3.5.1）～（3.5.10）构成了多重分形的理论核心，不论用α，f（α）或q，D_q作为独立参数都可以描述多重分形内部结构，可根据实际情况决定用哪一组参数（表3-7）.

这两套参量之间的关系为：D_q=（1/（1-q））［qα-f（α）］或f（α）=qα-τ（q）

其中

分形混沌与矿产预测

表3-7 τ（q），α（q），f（α（q）），D_q在q=0，1，±∞处的值

定理：q次广义分维数D_q满足下列不等式：

分形混沌与矿产预测

证明：由不等式（简明数学手册，上海教育出版社，1978）

分形混沌与矿产预测

上式等号成立当且仅当所有的α_i都相等.

分形混沌与矿产预测

即 D_q′≥D_q当q＞q′时

证毕

根据定理的结论，可推知：

D₀（相似维）≥D₁（信息维）≥D₂（关联维）

注意：上面的定理成立是有条件的，即：∑P_i=1并且当r充分小时.但是在用线性回归方法处理实际数据并计算出广义分维数的D_q（即线性回归方程的斜率），不一定都符合该不等式 D_q≤D_q′（当q＞q′时）.这是因为用统计上的线性回归方法得出的结果是整体上的结果（取决于所有的数据），它与用取极限方法得出的结果是不一样的（参见下面的模拟研究结果）.

3.5.3 多重分形模型模拟研究

我们在计算机上产生了［0，1］区间上的均匀分布，标准正态分布和对数正态分布的随机数各10000个，将每种分布的随机数分成10组（即每组1000个随机数，共有30组），用于多重分形模型的模拟研究.

将每组1000个随机数，按从小到大的次序排列，并把随机数分布的总区间分成r个子区间，计算进入第i个子区间内的随机数的频率P_i（i=1，2，…，r），令，其中r为正整数.

这样得到了数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n），将这些数据代入（3.5.4）式中，然后两边取对数，即（3.5.4）式化为一元线性回归模型，应用最小二乘法求出斜率的估计量，即q次广义分维数.

具体计算结果见表3-8（图3-9），表3-9（图3-10）和表3-10（图3-11）.

表3-8 均匀分布的

表3-9 正态分布的

表3-10 对数正态分布的

说明：（1）表3-8，表3-9和表3-10中的为相应分布的10组q次广义分维数的平均值.

（2）对于均匀分布，正态分布和对数正态分布的随机数，取n=26，r_i=3+2i（i=1，2，…，26）.主要依据数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n）在此范围内（q≥0），存在无标度区和统计上的要求.

（3）随机数抽取样本1000个，符合统计推断的要求条件.

（4）当q→1时，广义分维数就是信息维数D₁.

为了说明q次广义分维数D^_q的意义，我们引入广义熵K_q（r）（Renyi熵）（q=0，1，…）

分形混沌与矿产预测

图3-9 均匀分布的拟合图

熵是衡量随机现象的不肯定性程度的一个度量.不肯定性程度（随机现象的分布均匀程度）越高，熵值越大.根据（3.5.5）式和（3.5.11）式，我们可推知广义分维数与广义熵K_q成正比.广义分维数可以表征随机数或样本之间的结构性越大，表示随机数或样本均匀程度好；反之，值越小表示随机数或样本均匀程度差.由表3-8，表3-9和表3-10中数据可推知：均匀分布（均匀程度好）的随机数广义分维数＞正态分布（均匀程度居中）的随机数广义分维数＞对数正态分布（均匀程度差）的随机数广义分维数（q≥0）.以上结论与实际情况符合.广义分维数是研究不均匀程度、复杂程度、粗糙程度和不规则程度的度量.

（注：此节的分维数大小比较与3.3.2节的结果不一致，这是因为它们的各自分维数所对应的模型不一致，从而导出的结论也不一致，因此，分维数大小的比较，一定要在相同模型和条件下进行，否则比较是无意义的.）

图3-10 正态分布的拟合图

图3-11 对数正态分布的拟合图

3.5.4 应用实例

某省地矿局物探大队在某金矿田近400km²范围内开展了1∶5万水系沉积物地球化学元素测量，共得到Au和Ag数据各405个（共有810个）.

将上述金的数据以1km²为单元进行网格化，应用网格化数据绘制金地球化学异常图3-14.该图表明：①金异常在空间分布上与正长斑岩体具有一致性，这表明整个正长斑岩体可能是一个富金岩体.②围绕正长斑岩体和闪长玢岩体发育环形金异常，正长斑岩体北侧发育区域性线形金异常.③该金矿位于环形金异常与线形金异常的交汇域.环形与线形金异常的叠加表明该类金矿床的岩控，裂控的双重控矿性质.④岩体内外金高浓度带分布具有了一定的方向性，构成了一系列北西带和北东带.

通过因子分析确定了四类元素组合，其中一类组合为Au-Ag-Hg.Au-Ag-Hg正因子计量等值线（图3-15）在岩体上形成两个北东带，在岩体北东侧形成区域性北西带，它代表了低温金组合异常的分布.

（1）将原始数据进行标准化变换.

变换公式：

分形混沌与矿产预测

其中x_i（i=1，2，…，N）为原始数据（Au和Ag元素）.

分形混沌与矿产预测

变换后的数据的平均数为0，方差为1.且各元素数据的量纲一致，且两元素数据在标准化变换前后的相关程度不变.

（2）将标准化变换后的各元素数据，按从小到大的次序排列，并把该元素数据分布的总区间分成r个子区间，计算进入第i个子区间内的随机数的频率P_i（i=1，2，…，r），令：

分形混沌与矿产预测

这样得到了数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n），然后将该数据绘在双对数坐标系统中（即lnI_q（r）—lnr），连接各点，曲线存在明显的直线段，即存在无标度区（q≥0）.

（3）将数据（I_q（r₁），I_q（r₂），…，I_q（r_n））和（r₁，r₂，…，r_n）代入（3.5.4）式中，然后两边取对数，应用最小二乘法求出斜率的估计量，即q次广义分维数.

具体计算结果见表3-11（图3-12）和表3-12（图3-13）.

表3-11 Au数据的

表3-12 Ag数据的

图3-12 Au数据的拟合图

图3-13 Ag数据的拟合图

图3-14 某金矿田Au地球化学异常图

图3-15 某金矿田水系沉积物地球化学因子计量（＞0）图

由表3-11和表3-12中的数据可见：

（1）元素Au和Ag数据分布的均匀程度在正态分布和对数正态分布的均匀程度之间.

（2）元素Au和Ag的广义分维数变化趋势基本一致（q≥1），说明元素Au和Ag数据关系密切.以上结论与实际情况相符合.