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n阶正定矩阵的转置
n阶正定矩阵的转置
还是它本身吗?
答:
n阶正定矩阵的转置是它本身,转置矩阵的行列式不变
。设M是n阶方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z的转置,就称M为正定矩阵。对于n阶实对称矩阵A,下列条件是等价的:(1)A是正定矩阵;(2)A的一切顺序主子式均为正;(3)A的一切主子式均为正;(4)A的特征值均为正;...
正定矩阵的转置
答:
转置就是把矩阵的每个元素按左上到右下的所有元素对称调换过来
。
共轭转置就是先取共轭,再取转置
。以复数为元素的矩阵,其共轭矩阵指对每一个元素取共轭之后得到的矩阵。正交矩阵:如果AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵。正交矩阵是实数特殊化的酉...
关于
矩阵正定
性的判定
答:
广义定义:设M是
n阶
方阵,如果对任何非零向量z,都有zTMz> 0,其中zT 表示z
的转置
,就称M为
正定矩阵
。例如:B为n阶矩阵,E为单位矩阵,a为正实数。在a充分大时,aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)。狭义定义:一个n阶的实对称矩阵M是
正定的
的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z,都...
正定矩阵的
问题
答:
设a=(a(ij))为
n阶
的
正定矩阵
,按定义,对于任意非零n元列x,都有 x’ax>0.(这里x’表示x
的转置
)特别地取x=(0,……,1,……0)’(就是说,第i个分量为1,其余分量全为0的n元列),由上式就得到 a(ii)>0 (i=1,……,n)从而所需结论得证。
正定
且正交
矩阵
有哪些重要的数学性质?
答:
2. 正交性:正交矩阵是指其
转置矩阵
等于其逆矩阵,即A^T = A^-1。正交
矩阵的
列向量是正交的,即任意两个不同列向量的内积为0。正交矩阵在信号处理、图像处理等领域有广泛应用,例如用于将数据投影到新的坐标系上。3. 行列式和迹的关系:对于一个
n阶正定
且正交矩阵A,其行列式|A|和迹tr(A)满足...
设A为
n阶矩阵
且r(A)=n,证明A
的转置
与A的积是
正定矩阵
,
答:
设B=ATA(AT代表A
的转置
)则对任意n维向量X=(x1,x2,.,xn)T,有XTBX=(AX)TAX而记Y=AX=(y1,y2,...,yn)T也是个n维向量,那么上式就等于y1^2+y2^2+...+yn^2>=0且等号成立当且仅当y1=y2=...=yn=0.即AX=0.但r(A)=
n
说明A可逆,...
矩阵题求解:a为
n阶
单位矩阵,
正定矩阵
A=E-kaaT(
转置
),求k的取值...
答:
a=0 (零向量) 时,k 任意 a非零向量时,计算得 E-kaaT 的特征值是1,1,...,1- k* |a|^2 其中 |a| 为 a 的范度(norm)结果 k < 1/ |a|^2 >>a为
n阶
单位
矩阵
这好像不对吧。。。[补记]如果 a 是单位列向量即|a|=1 , 所以就是k < 1 吧 ...
...设A为
n阶正定矩阵
,B为m*n实矩阵,证明B(
转置
)AB也正定
答:
②B是
n
*m
阶
.B′AB可以乘,是实对称的,但也不一定正定.例如B=0.或者m>n.(此时,行列式|B′AB|=0)③B是n*m阶,m≤n.秩B<m.B′AB也不正定.(行列式=0)④只有在B是n*m阶,m≤n.并且秩B=m时.B′AB才是
正定的
.证明如下.此时,线性方程组BX=0只有零解.(X是m维列向量)对于任意...
A为
n阶
可逆
矩阵
,证明存在一个
正定
阵s和一个正交阵p使A=ps。 这个怎么...
答:
因为A为
n阶
可逆矩阵,故A'A为
正定矩阵
,(A'表示A
的转置
)从而存在正定矩阵S使A'A = S².令P = AS^(-1), 则P' = (S')^(-1)A' = S^(-1)A'.P'P = S^(-1)A'AS^(-1) = S^(-1)S².S^(-1)=E.即P为正交阵.所以A = PS 其中P为正交阵.,S为正定矩阵...
如何判断
矩阵的正定
性?
答:
都有zTMz>0。其中zT表示z
的转置
。二、
正定矩阵的
性质 1、正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。2、若A为n阶对称正定矩阵,则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L,使得A=L*L′,此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。3、若A为
n阶正定矩阵
,则A为n阶可逆矩阵。
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