如题所述
带通信号的采样频率在某时，小于低通采样频率也能无失真恢复原信号
频谱混叠
对一个连续时域信号，采样后变为时域离散但幅值连续的采样信号。根据傅里叶理论，连续非周期信号对应的频域曲线是非周期连续的波形，而离散非周期信号对应的频域曲线是周期连续的波形。
所以采样本质就是对原信号进行周期性的频谱搬移。故采样频率没选好，就会使周期性频谱搬移过程中造成频谱混叠，既然频谱和原信号的频谱对不上了，故就无法无失真恢复原信号了，总之，频域波形不出现重叠是无失真传输的重要保障。
设采样角频率是 w s \ w_s ws，原信号的最高上限角频率是 w m \ w_m wm
由上图可见采样就是以周期 T s \ T_s Ts进行频谱搬移，显然， w s ⩾ 2 w m \ w_s\geqslant 2w_m ws⩾2wm 就不会造成频率混叠，这就是奈奎斯特采样。物理上解释，一个频带受限信号波形不可能短时间产生独立的，实质的变化，最高变化速度受最高频率分量的限制，因而为了保留这一频率分量的信息，故一周期内至少采样两次。
三、带通采样定理
奈奎斯特采样定理讨论的是频谱分布在( 0, f H \ f_H fH)上的基带信号的采样问题。但对于接收机，接收信号大多为调制的射频信号，射频信号的频率上限远高于基带信号的频率上限，且仅分布在有限的( f L \ f_L fL, f H \ f_H fH)范围内。
上图为带通信号的频谱图（一般都是已调信号）
对带通信号采用低通抽样定理抽样，也不会造成频谱混叠，但会发现0~ f L \ f_L fL区间频谱没有使用，且一般 f H \ f_H fH很大，所以采样率很高，大大降低了信道的利用率
现实生活中信号带宽 B B B并不一定很宽可能为几M，但 f H \ f_H fH可能为几十个G，AD也难以实现如此高的采样率，这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求，从而催生了带通采样的应用。
带通采样定理：设带通信号频带仅在( f L \ f_L fL~ f H \ f_H fH)之间，信号带宽即为 B = f H − f L B=\ f_H-\ f_L B= fH− fL，则最小采样速率 f s = 2 B ( 1 + k n ) f_{s}=2B(1+\frac{k}{n} ) fs=2B(1+nk)，其中 k k k为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的小数部分， n n n为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的整数部分
现推导带通采样定理：
由于带限信号频谱具有轴对称性，故只需分析一边。如上图，为避免频谱混叠，
{ − f L + m f s ≤ f L f H ≤ − f H + ( m + 1 ) f s \begin{cases}-f_{L}+mf_{s} \le f_{L} \\f_{H}\le -f_{H}+(m+1)f_{s} \end{cases} {−fL+mfs≤fLfH≤−fH+(m+1)fs
不难求得采样频率 f s f_{s} fs的取值范围
2 f H m + 1 ≤ f s ≤ 2 f L m \frac{2f_{H}}{m+1} \le f_{s}\le \frac{2f_{L}}{m} m+12fH≤fs≤m2fL ，( m m m为非负整数，其含义是m次频移)
显然 f s f_{s} fs存在的条件是 2 f H m + 1 ≤ 2 f L m \frac{2f_{H}}{m+1} \le \frac{2f_{L}}{m} m+12fH≤m2fL ，化简可知 m ≤ ⌊ f L f H − f L ⌋ \ m \le \left \lfloor \frac{f_{L}}{f_{H}-f_{L}} \right \rfloor m≤⌊fH−fLfL⌋ ，（ ⌊ ⋅ ⌋ \left \lfloor ·\right \rfloor ⌊⋅⌋<->向下取整）
m \ m m的意义：在[ 0 \ 0 0 ~ f L \ f_L fL]范围内容纳的频谱数
解释：
设 m m a x \ m_{max} mmax 在[ 0 \ 0 0 ~ f L \ f_L fL]范围内最多容纳的频谱数， m m a x \ m_{max} mmax必须为整数
则 m m a x × ( f H − f L ) ≤ f L \ m_{max}\times (f_{H}-f_{L}) \le f_{L} mmax×(fH−fL)≤fL，即 m m a x × B ≤ f L \ m_{max}\times B \le f_{L} mmax×B≤fL
现推导最小采样频率：
最小采样频率即为 2 f H m + 1 \frac{2f_{H}}{m+1} m+12fH ，且 m = m m a x = [ f L f H − f L ] \ m=m_{max}=[ \frac{f_{L}}{f_{H}-f_{L}} ] m=mmax=[fH−fLfL]
①当 f H \ f_{H} fH不是带宽B的整数倍时，可用 f H = n × B + k × B \ f_H=n\times B +k\times B fH=n×B+k×B表达，其中 n n n为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的整数部分， k k k为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的小数部分
m m a x + 1 = f H f H − f L = f H B = n \ m_{max}+1= \frac{f_{H}}{f_{H}-f_{L}}= \frac{f_H}{B}=n mmax+1=fH−fLfH=BfH=n
故 2 f H m m a x + 1 = 2 f H n = 2 B ( 1 + k n ) \frac{2f_{H}}{m_{max}+1} = \frac{2f_H}{n}=2B(1+\frac {k}{n}) mmax+12fH=n2fH=2B(1+nk)
②当 f H \ f_{H} fH是带宽B的整数倍时，可用 f H = n × B 表 达 ， 其 中 n \ f_H=n\times B 表达，其中n fH=n×B表达，其中n为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的整数部分
同理可知， 2 f H m m a x + 1 = 2 f H n = 2 B \frac{2f_{H}}{m_{max}+1} = \frac{2f_H}{n}=2B mmax+12fH=n2fH=2B
四、带通采样的限制条件
只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠。
五、误区
本人建议在利用带通采样的时候，用不等式 2 f H m + 1 ≤ f s ≤ 2 f L m \frac{2f_{H}}{m+1} \le f_{s}\le \frac{2f_{L}}{m} m+12fH≤fs≤m2fL确定采样频率。
千万不要也不能理解为采样频率超过最小值 2 f H m + 1 \frac{2f_{H}}{m+1} m+12fH后，就不会产生频谱混叠。
带通采样定理的采样频率的取值是不连续的分段区间，故应注意与低通信号的最小采样频率进行区别理解。
六、总结
带通采样的核心就是频谱搬移，搬移到低频带上进行采样。故带通采样大大降低了所需的采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。所以，在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。
频谱混叠
对一个连续时域信号，采样后变为时域离散但幅值连续的采样信号。根据傅里叶理论，连续非周期信号对应的频域曲线是非周期连续的波形，而离散非周期信号对应的频域曲线是周期连续的波形。
所以采样本质就是对原信号进行周期性的频谱搬移。故采样频率没选好，就会使周期性频谱搬移过程中造成频谱混叠，既然频谱和原信号的频谱对不上了，故就无法无失真恢复原信号了，总之，频域波形不出现重叠是无失真传输的重要保障。
设采样角频率是 w s \ w_s ws，原信号的最高上限角频率是 w m \ w_m wm
由上图可见采样就是以周期 T s \ T_s Ts进行频谱搬移，显然， w s ⩾ 2 w m \ w_s\geqslant 2w_m ws⩾2wm 就不会造成频率混叠，这就是奈奎斯特采样。物理上解释，一个频带受限信号波形不可能短时间产生独立的，实质的变化，最高变化速度受最高频率分量的限制，因而为了保留这一频率分量的信息，故一周期内至少采样两次。
三、带通采样定理
奈奎斯特采样定理讨论的是频谱分布在( 0, f H \ f_H fH)上的基带信号的采样问题。但对于接收机，接收信号大多为调制的射频信号，射频信号的频率上限远高于基带信号的频率上限，且仅分布在有限的( f L \ f_L fL, f H \ f_H fH)范围内。
上图为带通信号的频谱图（一般都是已调信号）
对带通信号采用低通抽样定理抽样，也不会造成频谱混叠，但会发现0~ f L \ f_L fL区间频谱没有使用，且一般 f H \ f_H fH很大，所以采样率很高，大大降低了信道的利用率
现实生活中信号带宽 B B B并不一定很宽可能为几M，但 f H \ f_H fH可能为几十个G，AD也难以实现如此高的采样率，这时，低通采样定理已经不能满足实际中的使用要求，从而催生了带通采样的应用。
带通采样定理：设带通信号频带仅在( f L \ f_L fL~ f H \ f_H fH)之间，信号带宽即为 B = f H − f L B=\ f_H-\ f_L B= fH− fL，则最小采样速率 f s = 2 B ( 1 + k n ) f_{s}=2B(1+\frac{k}{n} ) fs=2B(1+nk)，其中 k k k为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的小数部分， n n n为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的整数部分
现推导带通采样定理：
由于带限信号频谱具有轴对称性，故只需分析一边。如上图，为避免频谱混叠，
{ − f L + m f s ≤ f L f H ≤ − f H + ( m + 1 ) f s \begin{cases}-f_{L}+mf_{s} \le f_{L} \\f_{H}\le -f_{H}+(m+1)f_{s} \end{cases} {−fL+mfs≤fLfH≤−fH+(m+1)fs
不难求得采样频率 f s f_{s} fs的取值范围
2 f H m + 1 ≤ f s ≤ 2 f L m \frac{2f_{H}}{m+1} \le f_{s}\le \frac{2f_{L}}{m} m+12fH≤fs≤m2fL ，( m m m为非负整数，其含义是m次频移)
显然 f s f_{s} fs存在的条件是 2 f H m + 1 ≤ 2 f L m \frac{2f_{H}}{m+1} \le \frac{2f_{L}}{m} m+12fH≤m2fL ，化简可知 m ≤ ⌊ f L f H − f L ⌋ \ m \le \left \lfloor \frac{f_{L}}{f_{H}-f_{L}} \right \rfloor m≤⌊fH−fLfL⌋ ，（ ⌊ ⋅ ⌋ \left \lfloor ·\right \rfloor ⌊⋅⌋<->向下取整）
m \ m m的意义：在[ 0 \ 0 0 ~ f L \ f_L fL]范围内容纳的频谱数
解释：
设 m m a x \ m_{max} mmax 在[ 0 \ 0 0 ~ f L \ f_L fL]范围内最多容纳的频谱数， m m a x \ m_{max} mmax必须为整数
则 m m a x × ( f H − f L ) ≤ f L \ m_{max}\times (f_{H}-f_{L}) \le f_{L} mmax×(fH−fL)≤fL，即 m m a x × B ≤ f L \ m_{max}\times B \le f_{L} mmax×B≤fL
现推导最小采样频率：
最小采样频率即为 2 f H m + 1 \frac{2f_{H}}{m+1} m+12fH ，且 m = m m a x = [ f L f H − f L ] \ m=m_{max}=[ \frac{f_{L}}{f_{H}-f_{L}} ] m=mmax=[fH−fLfL]
①当 f H \ f_{H} fH不是带宽B的整数倍时，可用 f H = n × B + k × B \ f_H=n\times B +k\times B fH=n×B+k×B表达，其中 n n n为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的整数部分， k k k为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的小数部分
m m a x + 1 = f H f H − f L = f H B = n \ m_{max}+1= \frac{f_{H}}{f_{H}-f_{L}}= \frac{f_H}{B}=n mmax+1=fH−fLfH=BfH=n
故 2 f H m m a x + 1 = 2 f H n = 2 B ( 1 + k n ) \frac{2f_{H}}{m_{max}+1} = \frac{2f_H}{n}=2B(1+\frac {k}{n}) mmax+12fH=n2fH=2B(1+nk)
②当 f H \ f_{H} fH是带宽B的整数倍时，可用 f H = n × B 表 达 ， 其 中 n \ f_H=n\times B 表达，其中n fH=n×B表达，其中n为 f H B \frac{f_{H}}{B} BfH的整数部分
同理可知， 2 f H m m a x + 1 = 2 f H n = 2 B \frac{2f_{H}}{m_{max}+1} = \frac{2f_H}{n}=2B mmax+12fH=n2fH=2B
四、带通采样的限制条件
只允许在其中一个频带上存在信号，而不允许在不同的频带同时存在信号，否则将会引起信号混叠。
五、误区
本人建议在利用带通采样的时候，用不等式 2 f H m + 1 ≤ f s ≤ 2 f L m \frac{2f_{H}}{m+1} \le f_{s}\le \frac{2f_{L}}{m} m+12fH≤fs≤m2fL确定采样频率。
千万不要也不能理解为采样频率超过最小值 2 f H m + 1 \frac{2f_{H}}{m+1} m+12fH后，就不会产生频谱混叠。
带通采样定理的采样频率的取值是不连续的分段区间，故应注意与低通信号的最小采样频率进行区别理解。
六、总结
带通采样的核心就是频谱搬移，搬移到低频带上进行采样。故带通采样大大降低了所需的采样频率，为后面的实时处理奠定了基础。另外，当对于一个频率很高的射频信号采样时，如果采样频率设的太低，对提高采样量化的信噪比是不利的。所以，在可能的情况下，带通采样频率应该尽可能选的高一些，使瞬时采样带宽尽可能宽。
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