如图，设椭圆C： （a＞b>0）的左、右焦点分别为F 1 ，F 2 ，上顶点为A，过点A与AF 2 垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且 ，若过 A，Q，F 2 三点的圆恰好与直线l： 相切，过定点 M（0，2）的直线l 1 与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）。
（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l 1 的斜率k>0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由；（3）若实数λ满足 ，求λ的取值范围。
解：（1）因为 所以F 1 为F 2 Q中点 设Q的坐标为（-3c，0）， 因为AQ⊥AF 2 ， 所以b 2 =3c×c=3c 2 ，a 2 =4c×c=4c 2 ，且过A，Q，F 2 三点的圆的圆心为F 1 （-c，0），半径为2c 因为该圆与直线l相切， 所以  解得c=1， 所以a=2，  故所求椭圆方程为  。（2）设l 1 的方程为y=kx+2（k>0） 由  得（3+4k 2 ）x 2 +16kx+4=0 设G（x 1 ，y 1 ），H（x 2 ，y 2 ），则  所以  （x 1 -m，y 1 ）+（x 2 -m，y 2 ） =（x 1 +x 2 -2m，y 1 +y 2 ） =（x 1 +x 2 -2m，k（x 1 +x 2 ）+4）  （x 2 -x 1 ，y 2 -y 1 ）=（x 2 -x 1 ，k（x 2 -x 1 ））由于菱形对角线互相垂直，因此  所以（x 2 -x 1 ）[（x 1 +x 2 ）-2m]+k（x 2 -x 1 ）[k（x 1 +x 2 ）+4]=0 故（x 2 -x 1 ）[（x 1 +x 2 ）-2m+k 2 （x 1 +x 2 ）+4k]=0 因为k>0， 所以x 2 -x 1 ≠0 所以（x 1 +x 2 ）-2m+k 2 （x 1 +x 2 ）+4k=0， 即（1+k 2 ）（x 1 +x 2 ）+4k-2m=0 所以  解得  即  因为k>0， 所以  故存在满足题意的点P且m的取值范围是  。（3）①当直线l 1 斜率存在时， 设直线l 1 方程为y=kx+2，代入椭圆方程  得（3+4k 2 ）x 2 +16kx+4=0 由△>0，得  设G（x 1 ，y 1 ），H（x 2 ，y 2 ）， 则  又  ，所以（x 1 ，y 1 -2）=λ（x 2 ，y 2 -2） 所以x 1 =λx 2 所以  所以  所以  整理得  因为，  所以  ，即 所以  解得  又0＜λ＜1， 所以7-4  ＜λ＜1。②当直线l 1 斜率不存在时，直线l 1 的方程为x=0， 此时  ， ，
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
相关了解……你可能感兴趣的内容
本站内容来自于网友发表，不代表本站立场，仅表示其个人看法，不对其真实性、正确性、有效性作任何的担保 |
