f(x)=a的x方减一分之a的x方加一（a>0,a不等于1）求定义域、值域；讨论单调性；判断奇偶性

解
函数f(x)=[(a^x)+1]/[(a^x)-1].

【1】
易知，a^x≠1,∴x≠0
∴定义域：(-∞, 0)∪(0, +∞)

【2】
y=f(x)=[(a^x)+1]/[(a^x)-1]
反解，a^x=(y+1)/(y-1)
由a^x＞0可得：y＜-1或y＞1
∴值域：(-∝, -1)∪(1, +∝)

【3】
变形，可得：
y-1=2/[(a^x)-1]
由复合函数单调性可知：

当0＜a＜1时，
在(-∝,0)上，u=(a^x)-1递减且u＞0
又此时：y-1=2/u，y递减
∴复合函数f(x)在(-∝,0)上递增。

在(0, +∝)上，u=(a^x)-1递减，且-1＜u＜0.
又此时y-1=2/u, y递减，
∴复合函数f(x)在(0, +∞)上递增，

综上，当0＜a＜1时，函数f(x)在定义域上递增。

当a＞1时，
在(-∞, 0)上，u=(a^x)-1递增，且-1＜u＜0
此时y-1=2/u递减
∴复合函数f(x)在(-∞,0)上递减。
同理可知，在(0,+∞)上，函数f(x)递减。

【4】
f(-x)=[(a^(-x))+1]/[(a^(-x))-1]
=[1+(a^x)]/[1-(a^x)]
=-[(a^x)+1]/[(a^x)-1]
=-f(x)
∴该函数是奇函数。

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