已知向量组a1 a2 a3线性无关，证明b1=a1+a2 b2=a2+a3 b3=a1+a3 证明，b1 b2 b3线性无关
(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)A, 其中A =
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因为|A|=2≠0. 所以A可逆.
所以 b1,b2,b3与a1,a2,a3等价. [常用方法]
所以 r(b1,b2,b3)=r(a1,a2,a3)=3
所以b1,b2,b3线性无关.
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因为|A|=2≠0. 所以A可逆.
所以 b1,b2,b3与a1,a2,a3等价. [常用方法]
所以 r(b1,b2,b3)=r(a1,a2,a3)=3
所以b1,b2,b3线性无关.
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第1个回答 2011-06-21
若是线性相关的，则存在m、n，使得b1=mb2＋nb3，即a1＋a2=m(a2＋a3)＋n(a1＋a3)，化简下，就是(n－1)a1＋(m－1)a2＋(m＋n)a3=0，考虑到m－1、n－1、m＋n不会全是0，则这个表明a1、a2、a3线性相关，矛盾，从而得证。本回答被提问者采纳
第2个回答 2011-06-21
反证法，假设b1 b2 b3线性相关，则存在x、y、z，使得
x*b1+y*b2+z*b3=0
则(x+y)*a1+(y+z)*b2+(x+z)*b3=0与a1 a2 a3线性无关矛盾。
x*b1+y*b2+z*b3=0
则(x+y)*a1+(y+z)*b2+(x+z)*b3=0与a1 a2 a3线性无关矛盾。
