(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c(a<b<c)处取到极值。①求t的取值范围;②若a+c=2b^2,求t的值; (2)若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m],不等式f(x)≤x恒成立,试求正整数m的最大值。
本题是导数的综合运用问题,估计应该属于中高档题。
解答如下:
1、求导,有f'(x)=(x^3-3x^2-9x+t+3)e^x,故函数f(x)有三个极值点,即方程x^3-3x^2-9x+t+3=0有三个根,再设g(x)=x^3-3x^2-9x+t+3,即函数g(x)与x轴要有三个交点,也即函数g(x)的极大值要大于0,且其极小值要小于0。再对g(x)求导可知,g(x)的极大值为g(-1),g(x)的极小值为g(3)。第二小问,a、b、c是方程x^3-3x^2-9x+t+3=0的三个根,即x^3-3x^2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c),再利用对应项系数相等,是否可以得到t关于a、b、c中某个字母的表达式,建立t与之的函数式,比如得到t=h(a),估计要确定下a的取值范围。
2、由于x∈[1,m],则x>0,所以f(x)≤x等价于[f(x)/x]≤1,即函数f(x)/x在区间[1,m]上的最大值小于等于1,这个最大值中肯定含有字母m、t,转而将此看成是关于t的表达式,即此表达式在t∈[0,2]上有解问题来研究。
由于计算和打字比较复杂,思路分析如上,你自己去试下,我想应该没问题了。
解答如下:
1、求导,有f'(x)=(x^3-3x^2-9x+t+3)e^x,故函数f(x)有三个极值点,即方程x^3-3x^2-9x+t+3=0有三个根,再设g(x)=x^3-3x^2-9x+t+3,即函数g(x)与x轴要有三个交点,也即函数g(x)的极大值要大于0,且其极小值要小于0。再对g(x)求导可知,g(x)的极大值为g(-1),g(x)的极小值为g(3)。第二小问,a、b、c是方程x^3-3x^2-9x+t+3=0的三个根,即x^3-3x^2-9x+t+3=(x-a)(x-b)(x-c),再利用对应项系数相等,是否可以得到t关于a、b、c中某个字母的表达式,建立t与之的函数式,比如得到t=h(a),估计要确定下a的取值范围。
2、由于x∈[1,m],则x>0,所以f(x)≤x等价于[f(x)/x]≤1,即函数f(x)/x在区间[1,m]上的最大值小于等于1,这个最大值中肯定含有字母m、t,转而将此看成是关于t的表达式,即此表达式在t∈[0,2]上有解问题来研究。
由于计算和打字比较复杂,思路分析如上,你自己去试下,我想应该没问题了。
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