(1)若函数y=f(x)依次在x=a,x=b,x=c（a＜b＜c)处取到极值。①求t的取值范围；②若a+c=2b^2，求t的值； （2）若存在实数t∈[0,2],使对任意的x∈[1,m]，不等式f(x)≤x恒成立，试求正整数m的最大值。
本题是导数的综合运用问题，估计应该属于中高档题。
解答如下：
1、求导，有f'(x)=(x^3－3x^2－9x＋t＋3)e^x，故函数f(x)有三个极值点，即方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0有三个根，再设g(x)=x^3－3x^2－9x＋t＋3，即函数g(x)与x轴要有三个交点，也即函数g(x)的极大值要大于0，且其极小值要小于0。再对g(x)求导可知，g(x)的极大值为g(－1)，g(x)的极小值为g(3)。第二小问，a、b、c是方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0的三个根，即x^3－3x^2－9x＋t＋3=(x－a)(x－b)(x－c)，再利用对应项系数相等，是否可以得到t关于a、b、c中某个字母的表达式，建立t与之的函数式，比如得到t=h(a)，估计要确定下a的取值范围。
2、由于x∈[1，m]，则x>0，所以f(x)≤x等价于[f(x)/x]≤1，即函数f(x)/x在区间[1，m]上的最大值小于等于1，这个最大值中肯定含有字母m、t，转而将此看成是关于t的表达式，即此表达式在t∈[0,2]上有解问题来研究。
由于计算和打字比较复杂，思路分析如上，你自己去试下，我想应该没问题了。
解答如下：
1、求导，有f'(x)=(x^3－3x^2－9x＋t＋3)e^x，故函数f(x)有三个极值点，即方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0有三个根，再设g(x)=x^3－3x^2－9x＋t＋3，即函数g(x)与x轴要有三个交点，也即函数g(x)的极大值要大于0，且其极小值要小于0。再对g(x)求导可知，g(x)的极大值为g(－1)，g(x)的极小值为g(3)。第二小问，a、b、c是方程x^3－3x^2－9x＋t＋3=0的三个根，即x^3－3x^2－9x＋t＋3=(x－a)(x－b)(x－c)，再利用对应项系数相等，是否可以得到t关于a、b、c中某个字母的表达式，建立t与之的函数式，比如得到t=h(a)，估计要确定下a的取值范围。
2、由于x∈[1，m]，则x>0，所以f(x)≤x等价于[f(x)/x]≤1，即函数f(x)/x在区间[1，m]上的最大值小于等于1，这个最大值中肯定含有字母m、t，转而将此看成是关于t的表达式，即此表达式在t∈[0,2]上有解问题来研究。
由于计算和打字比较复杂，思路分析如上，你自己去试下，我想应该没问题了。
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