所有的初等矩阵都与其转置矩阵和逆矩阵相等吗？

不相等，交换两行的Eij，转置, 逆 相等，某行乘k的 Ei(k), 转置为Ei(k), 逆为 Ei(1/k)，j行的k倍加到第i行 Eij(k), 转置为 Eji(k), 逆为 Eij(-k)。

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次三种矩阵初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。[1] 

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。