二重积分可以计算面积吗？ 它不是计算体积的吗？

§9.3 二重积分的应用

定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：

1、所要计算的某个量 对于闭区域 具有可加性(即:当闭区域 分成许多小闭区域 时, 所求量 相应地分成许多部分量 ,且 )。

2、在 内任取一个直径充分小的小闭区域 时, 相应的部分量 可近似地表示为 , 其中 , 称 为所求量 的元素, 并记作 。

(注: 的选择标准为: 是 直径趋于零时较 更高阶的无穷小量)

3、所求量 可表示成积分形式
一、曲面的面积

设曲面 由方程 给出, 为曲面 在 面上的投影区域,函数 在 上具有连续偏导数 和 ,现计算曲面的面积 。

在闭区域 上任取一直径很小的闭区域 (它的面积也记作 ),在 内取一点 ,对应着曲面 上一点 ,曲面 在点 处的切平面设为 。 以小区域 的边界为准线作母线平行于 轴的柱面, 该柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由于 的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。

曲面 在点 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为

它与 轴正向所成夹角 的方向余弦为

而
所以
这就是曲面 的面积元素, 故

故
【例1】求球面 含在柱面 ( ) 内部的面积。

解:所求曲面在 面的投影区域

曲面方程应取为 , 则

,

曲面在 面上的投影区域 为

据曲面的对称性,有

若曲面的方程为 或 ,可分别将曲面投影到 面或 面,设所得到的投影区域分别为 或 ,类似地有

或

二、平面薄片的重心

1、平面上的质点系的重心

其质点系的重心坐标为

,
2、平面薄片的重心

设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,如何确定该薄片的重心坐标 。

这就是力矩元素,于是

又平面薄片的总质量
从而,薄片的重心坐标为

特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则

十分显然, 这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定, 因此, 习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。

【例2】设薄片所占的闭区域 为介于两个圆 ,
( )之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。

解: 由 的对称性可知:

而

故
三、平面薄片的转动惯量

1、平面质点系对坐标轴的转动惯量

设平面上有 个质点, 它们分别位于点 处, 质量分别为 。

设质点系对于 轴以及对于 轴的转动惯量依次为

2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量

设有一薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 , 假定 在 上连续。 现要求该薄片对于 轴、 轴的转动惯量 , 。

与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为

【例3】求由抛物线 及直线 所围成的均匀薄片(面密度为常数 )对于直线 的转动惯量。

解: 转动惯量元素为

四、平面薄片对质点的引力

设有一平面薄片,占有 面上的闭区域 ,在点 处的面密度为 ,假定 在 上连续,现计算该薄片对位于 轴上点 处的单位质量质点的引力。

于是,薄片对质点的引力 在三个坐标轴上的分力 的力元素为

故

二重积分就是计算面积的 不是计算体积的
三重积分是计算体积的

二重积分也可以计算体积的

一楼《angel说爱我》应该是初学者，还没有搞懂积分是怎么回事。
二楼《nbsuns》的说法，可以接受。
三楼《康伯伟》说的太棒了！

鉴定完毕！