如题所述
等边三角形！
) 先证明一个结论：tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
利用三角函数公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
因为C=π-(A+B)，所以tanC=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)，移项即得tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
变形得(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)=1
2) 很容易证明以下不等式：(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)
(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = (1/2)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] >= 0
即(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)，在x=y=z时取等号
3) 根据1)、2)的结论有[(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC)]^2 >= 3[(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)] = 3，故(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) >= √3或(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) <= -√3
根据题意，仅仅在三个内角都相等时，才等于根号3
所以A=B=C=60 所以三角形为等边三角形
) 先证明一个结论：tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
利用三角函数公式：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
因为C=π-(A+B)，所以tanC=tan(π-(A+B))=-tan(A+B)=(tanA+tanB)/(tanAtanB-1)，移项即得tanA+tanB+tanC=tanA*tanB*tanC
变形得(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)=1
2) 很容易证明以下不等式：(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)
(x+y+z)^2 - 3(xy+yz+zx) = x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx = (1/2)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2] >= 0
即(x+y+z)^2 >= 3(xy+yz+zx)，在x=y=z时取等号
3) 根据1)、2)的结论有[(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC)]^2 >= 3[(1/tanA)*(1/tanB)+(1/tanB)*(1/tanC)+(1/tanC)*(1/tanA)] = 3，故(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) >= √3或(1/tanA)+(1/tanB)+(1/tanC) <= -√3
根据题意，仅仅在三个内角都相等时，才等于根号3
所以A=B=C=60 所以三角形为等边三角形
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