如题所述
利用柯西不等式的推论。b1^2/a1+b2^2/a2+..bn^2/an>=(b1+b2+..+bn)^2/(a1+a2+...+an)
当且仅当bi/ai=k(常数) i 取1,2、。。n
a³/(b+c)+b³/(a+c)+c³/(b+a)=a^4/a(b+c)+b^4/b(a+c)+c^4/c(b+a)>=(a^2+b^2+c^2)^2/2(ab+ac+bc)>=1/2(ab+bc+ac)
这里用到(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca)
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当且仅当bi/ai=k(常数) i 取1,2、。。n
a³/(b+c)+b³/(a+c)+c³/(b+a)=a^4/a(b+c)+b^4/b(a+c)+c^4/c(b+a)>=(a^2+b^2+c^2)^2/2(ab+ac+bc)>=1/2(ab+bc+ac)
这里用到(a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca)
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第1个回答 2011-04-21
引理:(a³+b³+c³)(x³+y³+z³)(p³+q³+r³)≥(axp+byq+czr)³
其实柯西不等式的一个推广,不予证明。
应用:a³/(b+c)+b³/(a+c)+c³/(b+a)
≥(a+b+c)³/6(a+b+c)
=(a+b+c)²/6
≥½(ab+bc+ac)
其实柯西不等式的一个推广,不予证明。
应用:a³/(b+c)+b³/(a+c)+c³/(b+a)
≥(a+b+c)³/6(a+b+c)
=(a+b+c)²/6
≥½(ab+bc+ac)
第2个回答 2011-04-21
取T=a+b+c
a³/(T-a)+b³/(T-b)+c³/(T-c)≥½(ab+bc+ca)
取函数f(x)=x³/(T-x)=(x³-T³)/(T-x)+T³/(T-x)
=-x^2-xT-T^2+T³/(T-x)
对f求二次导数f’=-2x-T+T³/(T-x)^2
f''=-2+2T³/(T-x)^3=2{(T/(T-x))^3-1}
由于x的取值范围为0到T,所以(T/(T-x))^3>1,所以
可得f‘’>0
函数f在取值范围0到T上是下凸(凹)函数
所以x1³/(T-x1)+x2³/(T-x2)+x3³/(T-x3)≥3*((x1+x2+x3)/3)^3/(T-(x1+x2+x3)/3)
所以a³/(T-a)+b³/(T-b)+c³/(T-c)≥3*(T/3)^3/(T-T/3)
=T^2/6=1/6 (a+b+c)^2
(a+b+c)^2=2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2
=2(ab+bc+ac)+1/2{a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2}
≥3(ab+bc+ac)
所以的a³/(b+c)+b³/(a+c)+c³/(b+a)≥1/6 (a+b+c)^2)≥½(ab+bc+ac)
a³/(T-a)+b³/(T-b)+c³/(T-c)≥½(ab+bc+ca)
取函数f(x)=x³/(T-x)=(x³-T³)/(T-x)+T³/(T-x)
=-x^2-xT-T^2+T³/(T-x)
对f求二次导数f’=-2x-T+T³/(T-x)^2
f''=-2+2T³/(T-x)^3=2{(T/(T-x))^3-1}
由于x的取值范围为0到T,所以(T/(T-x))^3>1,所以
可得f‘’>0
函数f在取值范围0到T上是下凸(凹)函数
所以x1³/(T-x1)+x2³/(T-x2)+x3³/(T-x3)≥3*((x1+x2+x3)/3)^3/(T-(x1+x2+x3)/3)
所以a³/(T-a)+b³/(T-b)+c³/(T-c)≥3*(T/3)^3/(T-T/3)
=T^2/6=1/6 (a+b+c)^2
(a+b+c)^2=2(ab+bc+ac)+a^2+b^2+c^2
=2(ab+bc+ac)+1/2{a^2+b^2+a^2+c^2+b^2+c^2}
≥3(ab+bc+ac)
所以的a³/(b+c)+b³/(a+c)+c³/(b+a)≥1/6 (a+b+c)^2)≥½(ab+bc+ac)