求微分方程的通解
(x-2)dy=[y+2(x-2)^3]dx
参考答案如图
我的问题是，它不讨论x-2与0的大小关系，直接假定x-2>0，这样做可以吗?
我发现求微分方程通解时，都不讨论x=0的情况。
可以这么算，直接通过凑微分去解
因为dx=d(x-2)，(x-2)dy=[y+2(x-2)^3]dx，则(x-2)dy-yd(x-2)=2(x-2)^3d(x-2)，即((x-2)dy-yd(x-2))/(x-2)^2=2(x-2)d(x-2)=d(x-2)^2，左边=d(y/(x-2))，因此d(y/(x-2))=d(x-2)^2，y/(x-2)=(x-2)^2+C，因此y=(x-2)^3+C(x-2)追问
因为dx=d(x-2)，(x-2)dy=[y+2(x-2)^3]dx，则(x-2)dy-yd(x-2)=2(x-2)^3d(x-2)，即((x-2)dy-yd(x-2))/(x-2)^2=2(x-2)d(x-2)=d(x-2)^2，左边=d(y/(x-2))，因此d(y/(x-2))=d(x-2)^2，y/(x-2)=(x-2)^2+C，因此y=(x-2)^3+C(x-2)追问
不讨论x-2<0的情况吗
追答我这个方法没有用到x-2＞0还是＜0，直接凑微分得来的
另外你那个方法也不用讨论x-2＜0，因为讨论的话最后只是差一个积分常数的符号，两种情况积分常数可以用一个任意数来表示，所以两个结果是等效的
爽! 我已经懂了，谢谢你!
对了，最后要不要写上x=2时，y=0呢？我看到这一类的题目都没有写，是不是不需要。
追答不需要，因为微分方程和解函数都对x=2时有定义，而且x=2时也确实y=0，所以没有必要
追问好，谢谢
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