已知F1,F2是椭圆标准方程的两个焦点,O为坐标原点,点P（-1,根号2/2）在椭圆上,且向量PF1·向量F1F2=0,⊙0是以F1F2为直径的圆,直线L：y=kx+m与⊙0相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B
（1）求椭圆的标准方程
（2）当向量OA·向量OB=λ,且满足2/3≤λ≤3/4时,求弦长｜AB｜的取值范围
第1个回答 2020-04-30
（1）设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,F1(-c,0),F2(c,0)
因为向量PF1·向量F1F2=0,故PF1垂直于F1F2,即P与F1的横坐标相等.
故c=1
又因为a^2=b^2+c^2所以a^2=b^2+1
将上式和P点坐标代入椭圆方程,有
(-1)^2/(b^2+1)+(根号2/2)^2/b^2=1解得b=1
a=根号2
所以椭圆方程为：x^2/2+y^2=1
因为向量PF1·向量F1F2=0,故PF1垂直于F1F2,即P与F1的横坐标相等.
故c=1
又因为a^2=b^2+c^2所以a^2=b^2+1
将上式和P点坐标代入椭圆方程,有
(-1)^2/(b^2+1)+(根号2/2)^2/b^2=1解得b=1
a=根号2
所以椭圆方程为：x^2/2+y^2=1
