怎么解释行列式和它的转置行列式相等

行列式在数学中，是一个函数，其定义域为det的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。
行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在 n 维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。
中文名
行列式
外文名
determinant(英文)déterminant（法文）
表达式
D=|A|=detA=det(aij)
应用学科
线性代数
适用领域范围
数学、物理学
快速
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性质
数学定义
n阶行列式
设
是由排成n阶方阵形式的n2个数aij(i,j=1,2,...,n)确定的一个数，其值为n！项之和
式中k1,k2,...,kn是将序列1,2,...,n的元素次序交换k次所得到的一个序列，Σ号表示对k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和，那么数D称为n阶方阵相应的行列式.例如，四阶行列式是4！个形为
的项的和，而其中a13a21a34a42相应于k=3,即该项前端的符号应为
(－1)3.
　　若n阶方阵A=（aij）,则A相应的行列式D记作
　　D=|A|=detA=det(aij)
　　若矩阵A相应的行列式D=0，称A为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵.
　　标号集：序列1,2,...,n中任取k个元素i1,i2,...,ik满足
　　1≤i1<i2<...<ik≤n(1)
　　i1,i2,...,ik构成{1,2,...,n}的一个具有k个元素的子列，{1,2,...,n}的具有k个元素的满足(1)的子列的全体记作C(n,k),显然C(n,k)共有
个子列.因此C(n,k)是一个具有个元素的标号集（参见第二十一章，1，二），C(n,k)的元素记作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示

　　σ={i1,i2,...,ik}
　　是{1,2,...,n}的满足(1)的一个子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),则σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。

用表达式来证，用乘积来理解。

不严谨证明: 表达式里D=∑(-1)^τ a1p1 a2p2...anpn =∑(-1)^τ ap11 ap22...apnn，至于第二个等号怎么来的，各种线代书上都有解释，主要还是用了“不同行不同列”和“对称性”。

DT对应的矩阵里每个元素bij=aji，所以DT=∑(-1)^τ b1p1 b2p2...bnpn =∑(-1)^τ ap11 ap22...apnn=D。证必。

理解的话就是用到了n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，故而行列同时转置对换的时候没有本质改变。