椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直（1）求椭圆C的方程（2）已知点N的坐标为（3,2），点P的坐标为（m,n），过点M任作直线L与椭圆C相交于A,B两点，设直线AN,NP,BN的斜率分别为K1，K2,K3，若K1+K3=2K2，试求m,n满足的关系式
求过程
解：(1)∵点M与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直
∴|OM|=1=1/2短轴=b
∵焦点F1(-√2,0)，F2(√2,0)
∴c=√2，则a=√3
∴椭圆C的方程为 x²/3+y²=1
(2)∵直线L过M(1,0),故设直线L的方程为y=k(x-1)=kx-k，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)
联立直线方程与椭圆方程，消元y，化简整理，得
(1+3k²)x²-6k²x+3k²-3=0
x1+x2=6k²/(1+3k²)········①
x1·x2=(3k²-3)/(1+3k²)·········②
∵直线AN，BN的斜率分别为k1，k3
∴k1=(2-y1)/(3-x1)
k3=(2-y2)/(3-x2)
k2=(2-n)/(3-m)
又∵k1+k3=2k2
∴(2-y1)/(3-x1)+(2-y2)/(3-x2)=2(2-n)/(3-m)········(*)
∵A、B在直线L上，∴y1=kx1-k，y2=kx2-k，代入(*)，通分整理化简，得
2(2-n)/(3-m)=(2-y1)/(3-x1)+(2-y2)/(3-x2)
=[12+6k-(4k+2)(x1+x2)+2kx1x2]/[9-3(x1+x2)+x1x2]
将①②代入上式，整理，得
2(2-n)/(3-m)=(24k²+12)/(12k²+6)=2
即2-n/3-m=1，m-n=1
本解答省略了大量计算步骤，答案仅供参考
∴|OM|=1=1/2短轴=b
∵焦点F1(-√2,0)，F2(√2,0)
∴c=√2，则a=√3
∴椭圆C的方程为 x²/3+y²=1
(2)∵直线L过M(1,0),故设直线L的方程为y=k(x-1)=kx-k，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)
联立直线方程与椭圆方程，消元y，化简整理，得
(1+3k²)x²-6k²x+3k²-3=0
x1+x2=6k²/(1+3k²)········①
x1·x2=(3k²-3)/(1+3k²)·········②
∵直线AN，BN的斜率分别为k1，k3
∴k1=(2-y1)/(3-x1)
k3=(2-y2)/(3-x2)
k2=(2-n)/(3-m)
又∵k1+k3=2k2
∴(2-y1)/(3-x1)+(2-y2)/(3-x2)=2(2-n)/(3-m)········(*)
∵A、B在直线L上，∴y1=kx1-k，y2=kx2-k，代入(*)，通分整理化简，得
2(2-n)/(3-m)=(2-y1)/(3-x1)+(2-y2)/(3-x2)
=[12+6k-(4k+2)(x1+x2)+2kx1x2]/[9-3(x1+x2)+x1x2]
将①②代入上式，整理，得
2(2-n)/(3-m)=(24k²+12)/(12k²+6)=2
即2-n/3-m=1，m-n=1
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