如题所述
与圆锥曲线的线段定比分点问题通常以向量的形式给出，重点考查向量系数的处理以及点和点之间利用坐标进行转化，此时存在比例的线段并不一定是弦长，也可能是一条普通的线段，因此根据线段是不是弦长处理起来的方法也不同。
如若是特殊的弦长：焦点弦，则在焦点弦中我们有可以直接利用的公式，即线段倾斜角，离心率和线段等分比例之间存在特定的关系式：
注意上述公式中不包含双曲线外分弦的情况，另外对角度的确定以及线段比值都必须提前做出限定，具体不再详述。
此外焦点弦长的公式也必须熟练掌握，公式在处理一些小题时可以很快的写出弦长，从而避免小题“大”做，公式如下，重点注意抛物线中的焦点弦长公式：
若不是弦长，此时可以通过比值找到两点之间横/纵坐标之间的转化关系，或者利用向量之间的比值关系找到比值λ和其中一个变量x1/x2/y1/y2的等量关系，此时可以根据λ的范围求变量的范围，也可以通过变量的范围求λ的范围，这在求λ取值范围中经常用到。
下面给出高考中与向量定比分点结合常见的题型：
题型一：已知比值λ，求其他未知量，例如点坐标，斜率，直线方程等等
注意此时向量所在的直线过定点F2,此时的线段并不是弦长，共线向量的比值关系可以转化为线段长度的比值关系，而长度的比值关系可以转化为对应坐标的比值关系，即P,Q两点横坐标的关系，根据条件求出两点的横坐标，利用比值求出未知量m即可。
题目和上题类似，向量所在的线段PB不是弦长,此时将向量比转化线段长度比可以得到横纵坐标之间的关系，此时直线和双曲线联立之后关于x的一元二次方程的两个解x1,x2就确定了，将x1,x2转化为一个，再利用韦达定理两根的和与积即可消去剩余的一个根，解得就是a的值。
题目给出线段长度的比值，我们可以转化为向量的比值，进而可以找到椭圆上的点Q与另外两个相对定点坐标的转化关系，求得点Q的坐标，最后利用点Q在椭圆上，带入即可求出所需的未知量。
题目中向量所在的线段AB为弦长，所以肯定要用到直线与双曲线联立之后韦达定理的形式，题目只需要利用λ1，λ2的和为定值，将λ1，λ2表示成A,B两点坐标的形式即可，利用和为定值即可求出未知量k，但是此时需要选择使将λ转化为横坐标还是纵坐标的形式，根据坐标可以看出转化为x比转化为y更复杂，因此选择转化为y即可。
题型二：求λ的取值范围或最值
这种题目总的解题思路是找到λ和其中一个变量的等量关系，利用变量的有界性求得λ的取值范围，题目的关键在于如何找到这种等量关系。
将线段比值转化为向量比值，并设出比值λ，此时线段所在的长度PF不是弦长，P,F点为已知相对定点，分别表示出P,F两点的坐标，再利用比值关系将点A的坐标根据比值λ和P,F两点的坐标表示出来，利用点A在椭圆上带入即可找到λ和a,b,c之间的关系，将a,b,c转化为离心率，利用离心率的有界性即可求出λ的取值范围。
本题目在上次内容中用点差法给出了，但是对比上题会发现M,N均为椭圆上的动点，动点个数比上题多一个，所以再利用上述方法反而不简单，当然利用向量的比值可以找到两点坐标之间的转化关系，如果这样需要写出两个方程才可以，不如还是使用上节内容的点差法简单，相似的问题还有下面例7.
题型三：已知λ取值范围，求其他未知量的最值或取值范围
这种题目类似于给定义域求值域，所以总体思路是将所求的目标函数用λ表示出来，再利用λ的取值范围求出所求未知量的取值范围即可。
此时P,Q两点均为抛物线上的点，利用给出的向量比例关系和P,Q自身符合抛物线的方程即可用λ表示出x1,x2进而求出目标函数的最值即可。
做法同上，点A,B为抛物线上的点，结合向量比值关系和抛物线方程即可用λ表示出x1,x2，目标函数是求直线在y轴截距的取值范围，因此利用两点式求出直线方程即可，最后把截距转化为只含有λ的形式求最值。
本题目中给出了两个带有向量比值的式子，题干中向量的式子和所求条件中向量的式子中的向量并不相同，因此可运用向量的加减法将向量AP，PB转化为向量OA，OB，OP的形式即可求出λ的值，因此向量之比转化为线段长度之比即可找到A,B两点坐标之间的转化关系，注意此时A,B两点均为椭圆上，所以常规做法，直线与椭圆联立，写出韦达定理的表达式，消去一个变量得到一个关于k和m的等式，可以k当做任意的变量，即可求出m的取值范围，做法和第二题相似。
题型四：存在性问题或求得满足条件的λ值
这种题型是求出满足特定条件的λ值，也可以结合直径圆问题出现，关于直径圆问题在以后会给出，此类问题会给出一个特定的条件，例如长度，例如共线等等，难度不大。
本题目中若存在这样的实数λ，由于A,B,C,D不共线，所以令A,B所在的直线和C,D所在的直线斜率相等即可，无需求出对应的λ值。题目的关键是如何理解条件中给出的向量表达式，这种形式的表达式在向量专题中三角形四心问题中给出过，表示角平分线所在的向量，由于题目中可求出A,B所在直线的斜率，因此只需要分别求出C,D两点的坐标即可。
A,B为焦点弦，可以直接利用焦点弦长公式求出对应的线段比例λ，也可以根据焦点弦长求出对应A,B两点的横坐标，从而将λ用坐标的形式表示出来，进而求值。
如果题目是小题，可以直接套用公式求出：
总结：
向量的比值和长度的比值之间经常互相转化。做题时需要分清向量所在的直线是不是弦长，如果是弦长，则两点的横坐标或纵坐标均可利用λ表示出来(经常用到抛物线中，椭圆里面就有点复杂了一般不用)注意利用向量的比值找到两点坐标之间的转化关系。
