(2014?天津)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=2,AD=2,PA=PD=5,E,F分别是棱AD,PC的中点.(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;(Ⅱ)若二面角P-AD-B为60°,(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
∵底面ABCD是平行四边形,∴H为BD中点,
∵E是棱AD的中点.∴在△ABD中,EH∥AB,
又∵AB?平面PAB,EH?平面PAD,∴EH∥平面PAB.
同理可证,FH∥平面PAB.
又∵EH∩FH=H,∴平面EFH∥平面PAB,
∵EF?平面EFH,∴EF∥平面PAB;
(Ⅱ)(i)如图,连结PE,BE.
∵BA=BD=
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又∵E为AD的中点,∴BE⊥AD,PE⊥AD,
∴∠PEB即为二面角P-AD-B的平面角,即∠PEB=60°,∴PB=
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∵△PBD中,BD2+PB2=PD2,∴PB⊥BD,同理PB⊥BA,
∴PB⊥平面ABD,
∵PB?平面PBC,∴平面PAB⊥平面ABCD;
(ii)由(i)知,PB⊥BD,PB⊥BA,
∵BA=BD=
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∴BD,BA,BP两两垂直,
以B为坐标原点,分别以BD,BA,BP为X,Y,Z轴,建立如图所示的空间直角坐标系B-DAP,
则有A(0,
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