如题所述
（1）选项B，设f（x）=x2，它是偶函数，f（x）的原函数是F（x）=
1
3
x3+C（C为任意常数），但F（x）并不是奇函数（除了C=0外），所以排除B．
（2）选项C，设f（x）=sin2x，但它的原函数F（x）=
1
2
x−
1
4
sin2x+C（C为任意常数）不是周期函数，所以排除C．
（3）选项D，设f（x）=x，它是R上的增函数，但它的原函数F（x）=
1
2
x2+C（C为任意常数），不是R上的增函数，所以排除D．
（4）选项A，由题意设F(x)
＝∫
x
0
f(t)dt+C（C为任意常数），则F(−x)
＝∫
−x
0
f(t)dt+C
令u＝−t
.
-
∫
x
0
f(−u)du+C，
∴如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u）
∴F（-x）=
∫
x
0
f(u)du+C＝F(x)
1
3
x3+C（C为任意常数），但F（x）并不是奇函数（除了C=0外），所以排除B．
（2）选项C，设f（x）=sin2x，但它的原函数F（x）=
1
2
x−
1
4
sin2x+C（C为任意常数）不是周期函数，所以排除C．
（3）选项D，设f（x）=x，它是R上的增函数，但它的原函数F（x）=
1
2
x2+C（C为任意常数），不是R上的增函数，所以排除D．
（4）选项A，由题意设F(x)
＝∫
x
0
f(t)dt+C（C为任意常数），则F(−x)
＝∫
−x
0
f(t)dt+C
令u＝−t
.
-
∫
x
0
f(−u)du+C，
∴如果f（x）是奇函数，则有f（-u）=-f（u）
∴F（-x）=
∫
x
0
f(u)du+C＝F(x)
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第1个回答 2019-07-24
首先需要证明，若函数f(x)在[a,b]内可积分，则Φ(x)在此区间内为一连续函数。证明：给x一任意增量Δx，当x+Δx在区间[a,b]内时，可以得到Φ(x+Δx)=∫f(t)dt=∫f(t)dt+∫f(t)dt=Φ(x)+∫f(t)dt
第2个回答 2019-03-29
b)f(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
=-∫(b,a)f(t)dt=
∫(a,b)f(t)dt=∫(a,当x=a,t=b
于是
∫(a是0
证明：做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,b)f(a+b-x)dx
【注
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
=-∫(b,a)f(t)dt=
∫(a,b)f(t)dt=∫(a,当x=a,t=b
于是
∫(a是0
证明：做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,b)f(a+b-x)dx
【注
第3个回答 2017-08-20
望采纳
