如题所述
2009年广东高考数学理科试题和答案(答案已更新)
2009-6-15 10:36:00
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 和 的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
【解析】由 得 ，则 ，有2个，选B.
2. 设 是复数， 表示满足 的最小正整数 ，则对虚数单位 ，
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】 ，则最小正整数 为4，选C.
3. 若函数 是函数 的反函数，其图像经过点 ，则
A. B. C. D.
【解析】 ，代入 ，解得 ，所以 ，选B.
4.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时，
A. B. C. D.
【解析】由 得 ， ，则 ， ，选C
5. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【解析】选D.
6. 一质点受到平面上的三个力 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 ， 成 角，且 ， 的大小分别为2和4，则 的大小为
A. 6 B. 2 C. D.
【解析】 ，所以 ，选D.
7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法 ；若小张、小赵都入选，则有选法 ，共有选法36种，选A
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 （如图2所示）．那么对于图中给定的 ，下列判断中一定正确的是
A. 在 时刻，甲车在乙车前面
B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在 时刻，两车的位置相同
D. 时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线 比 在0～ 、0～ 与 轴所围成图形面积大，则在 、 时刻，甲车均在乙车前面，选A
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9 ~ 12题）
9. 随机抽取某产品 件，测得其长度分别为 ，则图3所示的程序框图输出的 ， 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
【解析】 ；平均数
10. 若平面向量 ， 满足 ， 平行于 轴， ，则
【解析】 或 ，则 或 .
11．巳知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为 ，且 上一点到 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆 的方程为 ．
【解析】 ， ， ， ，则所求椭圆方程为 .
12．已知离散型随机变量 的分布列如右表．若 ， ，则 ， ．
【解析】由题知 ， ， ，解得 ， .
（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 （ 为参数）与直线 （ 为参数）垂直，则 ．
【解析】 ，得 .
14．（不等式选讲选做题）不等式 的实数解为 ．
【解析】 且 .
15．（几何证明选讲选做题）如图4，点 是圆 上的点， 且 ， 则圆 的面积等于 ．
【解析】解法一：连结 、 ，则 ，∵ ， ，∴ ，则 ；解法二： ，则 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．(本小题满分12分）
已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
解：（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入 得 ，又 ，∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，则 ，∴ .
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 ， ， ， ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图5.
（1）求直方图中 的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
（结果用分数表示．已知 ， ， ， ）
解：（1）由图可知 ，解得 ；
（2） ；
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 ，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 ，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 .
18．（本小题满分14分）
如图6，已知正方体 的棱长为2，点 是正方形 的中心，点 、 分别是棱 的中点．设点 分别是点 ， 在平面 内的正投影．
（1）求以 为顶点，以四边形 在平面 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线 平面 ；
（3）求异面直线 所成角的正弦值.
解：（1）依题作点 、 在平面 内的正投影 、 ，则 、 分别为 、 的中点，连结 、 、 、 ，则所求为四棱锥 的体积，其底面 面积为
，
又 面 ， ，∴ .
（2）以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别作 轴， 轴， 轴，得 、 ，又 ， ， ，则 ， ， ，
∴ ， ，即 ， ，
又 ，∴ 平面 .
（3） ， ，则 ，设异面直线 所成角为 ，则 .
19．（本小题满分14分）
已知曲线 与直线 交于两点 和 ，且 ．记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 ．设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合．
（1）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；
（2）若曲线 与 有公共点，试求 的最小值．
解：（1）联立 与 得 ，则 中点 ，设线段 的中点 坐标为 ，则 ，即 ，又点 在曲线 上，
∴ 化简可得 ，又点 是 上的任一点，且不与点 和点 重合，则 ，即 ，∴中点 的轨迹方程为 （ ）.
（2）曲线 ，
即圆 ： ，其圆心坐标为 ，半径
由图可知，当 时，曲线 与点 有公共点；
当 时，要使曲线 与点 有公共点，只需圆心 到直线 的距离 ，得 ，则 的最小值为 .
20．（本小题满分14分）
已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且 在 处取得极小值 ．设 ．
（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设 ( )，则 ；
又 的图像与直线 平行
， ，
设 ，则
当且仅当 时， 取得最小值，即 取得最小值
当 时， 解得
当 时， 解得
（2）由 ( )，得
当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ；
当 时，方程 有二解 ，
若 ， ，
函数 有两个零点 ，即 ；
若 ， ，
函数 有两个零点 ，即 ；
当 时，方程 有一解 , ,
函数 有一零点
综上，当 时, 函数 有一零点 ；
当 ( )，或 （ ）时，
函数 有两个零点 ；
当 时，函数 有一零点 .
21．（本小题满分14分）
已知曲线 ．从点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
解：（1）设直线 ： ，联立 得 ，则 ，∴ （ 舍去）
，即 ，∴
（2）证明：∵
∴
由于 ，可令函数 ，则 ，令 ，得 ，给定区间 ，则有 ，则函数 在 上单调递减，∴ ，即 在 恒成立，又 ，
则有 ，即
2009-6-15 10:36:00
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集 ，集合 和 的关系的韦恩（Venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
【解析】由 得 ，则 ，有2个，选B.
2. 设 是复数， 表示满足 的最小正整数 ，则对虚数单位 ，
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【解析】 ，则最小正整数 为4，选C.
3. 若函数 是函数 的反函数，其图像经过点 ，则
A. B. C. D.
【解析】 ，代入 ，解得 ，所以 ，选B.
4.已知等比数列 满足 ，且 ，则当 时，
A. B. C. D.
【解析】由 得 ， ，则 ， ，选C
5. 给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
【解析】选D.
6. 一质点受到平面上的三个力 （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知 ， 成 角，且 ， 的大小分别为2和4，则 的大小为
A. 6 B. 2 C. D.
【解析】 ，所以 ，选D.
7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
A. 36种 B. 12种 C. 18种 D. 48种
【解析】分两类：若小张或小赵入选，则有选法 ；若小张、小赵都入选，则有选法 ，共有选法36种，选A
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为 （如图2所示）．那么对于图中给定的 ，下列判断中一定正确的是
A. 在 时刻，甲车在乙车前面
B. 时刻后，甲车在乙车后面
C. 在 时刻，两车的位置相同
D. 时刻后，乙车在甲车前面
【解析】由图像可知，曲线 比 在0～ 、0～ 与 轴所围成图形面积大，则在 、 时刻，甲车均在乙车前面，选A
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9 ~ 12题）
9. 随机抽取某产品 件，测得其长度分别为 ，则图3所示的程序框图输出的 ， 表示的样本的数字特征是 ．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
【解析】 ；平均数
10. 若平面向量 ， 满足 ， 平行于 轴， ，则
【解析】 或 ，则 或 .
11．巳知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，离心率为 ，且 上一点到 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆 的方程为 ．
【解析】 ， ， ， ，则所求椭圆方程为 .
12．已知离散型随机变量 的分布列如右表．若 ， ，则 ， ．
【解析】由题知 ， ， ，解得 ， .
（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线 （ 为参数）与直线 （ 为参数）垂直，则 ．
【解析】 ，得 .
14．（不等式选讲选做题）不等式 的实数解为 ．
【解析】 且 .
15．（几何证明选讲选做题）如图4，点 是圆 上的点， 且 ， 则圆 的面积等于 ．
【解析】解法一：连结 、 ，则 ，∵ ， ，∴ ，则 ；解法二： ，则 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．(本小题满分12分）
已知向量 与 互相垂直，其中 ．
（1）求 和 的值；
（2）若 ，求 的值．
解：（1）∵ 与 互相垂直，则 ，即 ，代入 得 ，又 ，∴ .
（2）∵ ， ，∴ ，则 ，∴ .
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间 ， ， ， ， ， 进行分组，得到频率分布直方图如图5.
（1）求直方图中 的值；
（2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数；
（3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.
（结果用分数表示．已知 ， ， ， ）
解：（1）由图可知 ，解得 ；
（2） ；
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为 ，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 ，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 .
18．（本小题满分14分）
如图6，已知正方体 的棱长为2，点 是正方形 的中心，点 、 分别是棱 的中点．设点 分别是点 ， 在平面 内的正投影．
（1）求以 为顶点，以四边形 在平面 内的正投影为底面边界的棱锥的体积；
（2）证明：直线 平面 ；
（3）求异面直线 所成角的正弦值.
解：（1）依题作点 、 在平面 内的正投影 、 ，则 、 分别为 、 的中点，连结 、 、 、 ，则所求为四棱锥 的体积，其底面 面积为
，
又 面 ， ，∴ .
（2）以 为坐标原点， 、 、 所在直线分别作 轴， 轴， 轴，得 、 ，又 ， ， ，则 ， ， ，
∴ ， ，即 ， ，
又 ，∴ 平面 .
（3） ， ，则 ，设异面直线 所成角为 ，则 .
19．（本小题满分14分）
已知曲线 与直线 交于两点 和 ，且 ．记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段 所围成的平面区域（含边界）为 ．设点 是 上的任一点，且点 与点 和点 均不重合．
（1）若点 是线段 的中点，试求线段 的中点 的轨迹方程；
（2）若曲线 与 有公共点，试求 的最小值．
解：（1）联立 与 得 ，则 中点 ，设线段 的中点 坐标为 ，则 ，即 ，又点 在曲线 上，
∴ 化简可得 ，又点 是 上的任一点，且不与点 和点 重合，则 ，即 ，∴中点 的轨迹方程为 （ ）.
（2）曲线 ，
即圆 ： ，其圆心坐标为 ，半径
由图可知，当 时，曲线 与点 有公共点；
当 时，要使曲线 与点 有公共点，只需圆心 到直线 的距离 ，得 ，则 的最小值为 .
20．（本小题满分14分）
已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且 在 处取得极小值 ．设 ．
（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点．
解：（1）依题可设 ( )，则 ；
又 的图像与直线 平行
， ，
设 ，则
当且仅当 时， 取得最小值，即 取得最小值
当 时， 解得
当 时， 解得
（2）由 ( )，得
当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ；
当 时，方程 有二解 ，
若 ， ，
函数 有两个零点 ，即 ；
若 ， ，
函数 有两个零点 ，即 ；
当 时，方程 有一解 , ,
函数 有一零点
综上，当 时, 函数 有一零点 ；
当 ( )，或 （ ）时，
函数 有两个零点 ；
当 时，函数 有一零点 .
21．（本小题满分14分）
已知曲线 ．从点 向曲线 引斜率为 的切线 ，切点为 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）证明： .
解：（1）设直线 ： ，联立 得 ，则 ，∴ （ 舍去）
，即 ，∴
（2）证明：∵
∴
由于 ，可令函数 ，则 ，令 ，得 ，给定区间 ，则有 ，则函数 在 上单调递减，∴ ，即 在 恒成立，又 ，
则有 ，即
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