一阶导数为零的点不一定是极值点,但是如果该点二阶导数不为零则一定是极值点,二阶导数等于零则一定不是极值点。对吗?
如果x0点处的二阶导数不为0
设二阶导数为正
那么说明f(x)的一阶导数在x0点附近是增函数,
那么当x<x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,f(x)是减函数
当x>x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,f(x)是增函数
所以f(x)在x0点附近是左减右增,x0点是极小值点。
设二阶导数为负
那么说明f(x)的一阶导数在x0点附近是减函数,
那么当x<x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,f(x)是增函数
当x>x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,f(x)是减函数
所以f(x)在x0点附近是左增右减,x0点是极大值点。
所以上面是证明说明,一阶导数为0,而二阶导数不为0的点,一定是极值点。追问
设二阶导数为正
那么说明f(x)的一阶导数在x0点附近是增函数,
那么当x<x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,f(x)是减函数
当x>x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,f(x)是增函数
所以f(x)在x0点附近是左减右增,x0点是极小值点。
设二阶导数为负
那么说明f(x)的一阶导数在x0点附近是减函数,
那么当x<x0的时候,f'(x)>f'(x0)=0,f(x)是增函数
当x>x0的时候,f'(x)<f'(x0)=0,f(x)是减函数
所以f(x)在x0点附近是左增右减,x0点是极大值点。
所以上面是证明说明,一阶导数为0,而二阶导数不为0的点,一定是极值点。追问
二者是等价的吗?极值→二阶导数≠0 二阶导数=0→非极值
追答不等价,
一阶导数为0,二阶导数为0,可以得出该点是极值点的结论。
但是该点是极值点,不能得出一阶导数为0,二阶导数为0的结论。
第一、极值点可以是不可导点,如果是不可导点,就不存在一阶导数,二阶导数和任何阶的导数,所以也就不可能是一阶导数为0,二阶导数为0了。
例如f(x)=|x|,这个函数在x=0点是极小值点,但是在x=0点处不可导。
第二,即使是二阶可导函数,极值点处也有可能一阶导数和二阶导数都是0
例如这个函数g(x)=x^4(x的4次方),
一阶导数为g'(x)=4x³;二阶导数为g''(x)=12x²
在x=0点处的一阶导数和二阶导数都是0,但是x=0是这个函数的极小值点。
所以该点是极值点,不能得出一阶导数为0,二阶导数为0的结论。无论函数在该点是可导还是不可导,都无法得出这个结论。
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第1个回答 2019-11-14
(1)y=x^3,在0点1阶导数、2阶导数都=0,但0不是它的极值点
(显然在0的任意邻域内都不是最大/最小值)
(2)二阶导不为零说明一阶导在该点附近的符号发生改变,所以一定是极值点
(二阶导>0说明一阶导在该点附近始终单增,而一阶导在该点又=0,
所以在该点左边一定一阶导<0,在该点右边一定一阶导>0,那么显然就是极值点了)
(显然在0的任意邻域内都不是最大/最小值)
(2)二阶导不为零说明一阶导在该点附近的符号发生改变,所以一定是极值点
(二阶导>0说明一阶导在该点附近始终单增,而一阶导在该点又=0,
所以在该点左边一定一阶导<0,在该点右边一定一阶导>0,那么显然就是极值点了)
第2个回答 2017-01-21
不对