圆周率的历史发展

古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。
中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取 。 汉朝时，张衡得出 ，即 （约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率 。
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率 和约率 。密率是个很好的分数近似值，要取到 才能得出比 略准确的近似。 （参见丢番图逼近）
在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托（Valentinus Otho）得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯（Metius）的著作中，欧洲称之为Metius' number。
约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为 。婆罗摩笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。
阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。 这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。
第一个快速算法由英国数学家梅钦（John Machin）提出，1706年梅钦计算π值突破100位小数大关，他利用了如下公式：
其中arctan x可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。
斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了梅钦于1706年提出的数式。
到1948年英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。 电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic

Numerical Integrator And Computer）在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。
在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）演算法，亦称高斯-勒让德演算法。
1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型（Cray-2）和IBM－3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。
2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。 日期 计算者 纪录 前20世纪 巴比伦人 π= 3.125 前20世纪 印度人 π= 3.160493... 前12世纪 中国 π=3 前6世纪中 圣经列王记上7章23节 π=3 前3世纪 阿基米德 π=3.1418 公元前20年 维特鲁威 π= 3.125 公元前50年－公元前23年 刘歆 π=3.1547 130年 张衡 π=3.162277... 150年 托勒密 π=3.141666... 250年 王蕃 π=3.155555... 263年 刘徽 π=3.14159 480年 祖冲之 3.1415926 <π< 3.1415927 499年 阿耶波多 π= 3.1416 598年 婆罗摩笈多 π=3.162277... 800年 花拉子米 π=3.1416 12世纪 婆什迦罗第二 π=3.14156 1220年 斐波那契 π=3.141818 1400年 Madhava π=3.14159265359 1424年 Jamshid Masud Al Kashi π=16位小数 1573年 Valentinus Otho π=6位小数 1593年 弗朗索瓦·韦达 π=9位小数 1593年 Adriaan van Roomen π=15位小数 1596年 鲁道夫·范·科伊伦 π=20位小数 1615年 π=32位小数 1621年 威理博·司乃耳， 范·科伊伦的学生 π=35位小数 1665年 牛顿 π=16位小数 1699年 Abraham Sharp π=71位小数 1700年 关孝和 π=10位小数 1706年 John Machin π=100位小数 1706年 William Jones 引入希腊字母π 1719年 De Lagny π=127位小数
（只有112位正确） 1723年 建部贤弘 π=41位小数 1730年 Kamata π=25位小数 1734年 莱昂哈德·欧拉 引入希腊字母π并肯定其普及性 1739年 松永良弼 π=50位小数 1761年 约翰·海因里希·兰伯特 证明π是无理数 1775年 欧拉 指出π可能是超越数 1794年 Jurij Vega π=140位小数
（只有136位正确） 1794年 阿德里安-马里·勒让德 - 1841年 Rutherford π=208位小数
（只有152位正确） 1844年 Zacharias Dase及Strassnitzky π=200位小数 1847年 Thomas Clausen π=248位小数 1853年 Lehmann π=261位小数 1853年 William Rutherford π=440位小数 1855年 Richter π=500位小数 1874年 William Shanks π=707位小数
（只有527位正确） 1882年 Lindemann 证明π是超越数 1946年 D. F. Ferguson π=620位小数 1947年 π=710位小数 1947年 π=808位小数 1949年 J. W. Wrench爵士和L. R. Smith π=2,037位小数
首次使用计算机 1955年 J. W. Wrench爵士及L. R. Smith π=3,089位小数 1957年 G.E.Felton π=7,480位小数 1958年 Francois Genuys π=10,000位小数 1958年 G.E.Felton π=10,020位小数 1959年 Francois Genuys π=16,167位小数 1961年 IBM 7090晶体管计算机 π=20,000位小数 1961年 J. W. Wrench, Jr，及L. R. Smith π=100,000位小数 1966年 π=250,000位小数 1967年 π=500,000位小数 1974年 π=1,000,000位小数 1981年 金田康正 π=2,000,000位小数 1982年 π=4,000,000位小数 1983年 π=8,000,000位小数 1983年 π=16,000,000位小数 1985年 Bill Gosper π=17,000,000位小数 1986年 David H. Bailey π=29,000,000位小数 1986年 金田康正 π=33,000,000位小数 1986年 π=67,000,000位小数 1987年 π=134,000,000位小数 1988年 π=201,000,000位小数 1989年 楚诺维斯基兄弟 π=480,000,000位小数 1989年 π=535,000,000位小数 1989年 金田康正 π=536,000,000位小数 1989年 楚诺维斯基兄弟 π=1,011,000,000位小数 1989年 金田康正 π=1,073,000,000位小数 1992年 π=2,180,000,000位小数 1994年 楚诺维斯基兄弟 π=4,044,000,000位小数 1995年 金田康正和高桥大介 π=4,294,960,000位小数 1995年 π=6,000,000,000位小数 1996年 楚诺维斯基兄弟 π=8,000,000,000位小数 1997年 金田康正和高桥大介 π=51,500,000,000位小数 1999年 π=68,700,000,000位小数 1999年 π=206,000,000,000位小数 2002年 金田康正的队伍 π=1,241,100,000,000位小数 2009年 高桥大介 π=2,576,980,370,000位小数 2009年 法布里斯·贝拉 π=2,699,999,990,000位小数 2010年 近藤茂 π=5,000,000,000,000位小数 2011年，IBM 蓝色基因/P超级电脑算出π2的60,000,000,000,000位二进制小数。