已知O为三角形ABC的内心,a,b,c分别是A.B.C边所对边长. 求证:aOA+bOB+cOC=0(OA,OB,OC均指向量)

证明：

设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，

∵O是内心

∴b/a=AF/BF，c/a=AE/CE

过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，

所以四边形OMAN是平行四边形

根据平行四边形法则，得

向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO

∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0

得证

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