设直线l:y=k(x+1)与椭圆x^2+3y^2=a^2(a>0)相交于A、B两个不相同的点，与x轴相交于点C,记O为坐标原点。
若向量AC=2向量CB,求三角形OAB的面积取得最大值时椭圆的方程。
要详解答案，好的话加分，谢谢！
1楼的，S（OAC）+S（OBC）不是应该等于(OC*Y1)/2+(OC*Y2)/2,而且Y1和Y2不是需要加绝对值的么？那不是又有问题了？
解：方程y=kx+k与x^2+3y^2=a^2联立得
（1+3k^2)y^2-2ky+k^2-a^2k^2=0
∴y1+y2=(2k)/(1+3k^2) ……①
y1·y2=(k^2-a^2k^2)/(1+3k^2) ……②
|y1-y2|=√[4k^2-4(1+3k^2)(k^2-a^2k^2)]/(1+3k^2)
=2·√[(3a^-3)k^4+a^2 k^2]/(1+3k^2) ……③
∵向量AC=2向量 CB
∴点C分向量AB的定比为λ=2 ，且点C（-1,0）,|OC|=1
根据向量的定比分点公式-1=（x1+2x2)/(1+2)
0 =(y1+2y2)/(1+2)
即 x1+2x2+3=0 ……④
y1+2y2=0 ……⑤
下边由①②⑤联立得k^2=(9-a^2)/(3a^2-3) ……⑥
△OAB的面积S=1//2·|OC|·|y1-y2|
=√[(3a^-3)k^4+a^2 k^2]/(1+3k^2)
将⑥代入得：S=（√3）/8·√(-a^4+10a^2-9)
=(√3)/8·√[-(a^2-5)^2+16]
∴当a^2=5时，S最大
∴所求椭圆为 x^2+3y^2=5
（1+3k^2)y^2-2ky+k^2-a^2k^2=0
∴y1+y2=(2k)/(1+3k^2) ……①
y1·y2=(k^2-a^2k^2)/(1+3k^2) ……②
|y1-y2|=√[4k^2-4(1+3k^2)(k^2-a^2k^2)]/(1+3k^2)
=2·√[(3a^-3)k^4+a^2 k^2]/(1+3k^2) ……③
∵向量AC=2向量 CB
∴点C分向量AB的定比为λ=2 ，且点C（-1,0）,|OC|=1
根据向量的定比分点公式-1=（x1+2x2)/(1+2)
0 =(y1+2y2)/(1+2)
即 x1+2x2+3=0 ……④
y1+2y2=0 ……⑤
下边由①②⑤联立得k^2=(9-a^2)/(3a^2-3) ……⑥
△OAB的面积S=1//2·|OC|·|y1-y2|
=√[(3a^-3)k^4+a^2 k^2]/(1+3k^2)
将⑥代入得：S=（√3）/8·√(-a^4+10a^2-9)
=(√3)/8·√[-(a^2-5)^2+16]
∴当a^2=5时，S最大
∴所求椭圆为 x^2+3y^2=5
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第1个回答 2010-05-23
联立y=k(x+1）与x^2+3y^2=a^2，得到x^2+3k^2x^2+6k^2x+3k^2-a^2=0
设A（X1，Y1）B（X2，Y2）
向量AC=2向量CB
推出：（-1-X1，-Y1）=2（X2+1，Y2）
推出：-1-X1=2X2+2与-Y1=2Y2
所以X2=~~~与Y2=~~①（你自己化简得到该形式吧）
三角形面积S=S（OAC）+S（OBC）=X1Y1/2 + X2Y2/2②
联立
①②
得到：S=k(5x1^2+8x1+3)/8(不知道化简正确不，但是思路是这样)那么做出X1等于多少，下面的问题就解决了
加不加没关系，因为开根出来就是一个整数啊，我已经说明了很清楚了
设A（X1，Y1）B（X2，Y2）
向量AC=2向量CB
推出：（-1-X1，-Y1）=2（X2+1，Y2）
推出：-1-X1=2X2+2与-Y1=2Y2
所以X2=~~~与Y2=~~①（你自己化简得到该形式吧）
三角形面积S=S（OAC）+S（OBC）=X1Y1/2 + X2Y2/2②
联立
①②
得到：S=k(5x1^2+8x1+3)/8(不知道化简正确不，但是思路是这样)那么做出X1等于多少，下面的问题就解决了
加不加没关系，因为开根出来就是一个整数啊，我已经说明了很清楚了
