分岔理论及其应用

分岔理论^{［5，6，24］}是耗散结构理论、突变理论和混沌理论的基础。所有的耗散结构、突变和混沌现象都必须经过分岔。但分岔未必能出现耗散结构和混沌现象。所以，分岔是耗散结构、突变和混沌产生的必要条件，但不是充分条件。

一、吸引子与分岔

吸引子就是稳定的定态，如稳定的结点、稳定的焦点。而不稳定的定态则称为排斥子，如不稳定的结点、不稳定的鞍点、不稳定的焦点等。非线性动力系统与线性系统的最大区别之一就是复杂性。而复杂性的表现就是存在有多个吸引子和多个排斥子，而不只是一个平衡态。所以，线性系统只有一个吸引子，而非线性系统则在大多数情况下存在多个吸引子。因此，多个吸引子的存在就是分岔的前提。

下面通过一个例子说明分岔产生的条件，如对方程（1-10）所示的一维非线性系统：

非线性岩土力学基础

系统存在3个平衡态：

非线性岩土力学基础

其特征值为：

非线性岩土力学基础

根据式（1-12）可知，A₀₁是不稳定的结点，A₀₂、A₀₃都是稳定的结点。所以系统存在一个排斥子和两个吸引子，如图1-2所示。

图1-2 两个吸引子和一个排斥子共存

分岔，指的是由于参数的变化，系统因原平衡态失稳而进入新的平衡态的过程。例如对式（1-10），当p≤0，系统只有一个平衡态A₀₁，当参数由p≤0变为p＞0时系统存在三个平衡态：A₀₁：（x₀₁=0）、A₀₂：（

）、A₀₃：DK（

）。所以，p=0为一分岔点。当参数由p≤0 变为 p＞0 时，系统将从失稳的平衡态 A₀₁分出两个新的平衡态 A₀₂和A₀₃。

分岔点意味着原来的平衡态失稳而分出新的平衡态，所以，分岔点必定是奇点（平衡态）。因此，分岔点的必要条件是：

一维（元）：

非线性岩土力学基础

二维（元）：

非线性岩土力学基础

式中，λ代表某一控制参数。分岔意味着从一个态分岔出至少两个态或两个态分支，分岔点是若干奇点的一个，故要满足临界定态条件，即∂f/∂x=0。从稳定性分析理论可知，对于动力系统dx/dt=f（x，λ），如果f=0是奇点条件，那么ω=∂f/∂x则是奇点性质判别条件。

当ω=∂f/∂x＜0时，平衡态是稳定的；当ω=∂f/∂x＞0时，平衡态是不稳定的；当ω=∂f/∂x=0时，平衡态由稳定的变为不稳定的。由此可知：

非线性岩土力学基础

是一维动力系统出现分岔的充分条件（临界定态条件）。对于二维情况，可由特征根方程ω判断，如果两个根的实部在某参数值r=r_m的一侧为负，在另一侧为正，而在中间恰好为零，即ω（r_m）=0，则在r=r_m处有分支存在。所以，分岔的充分条件为：

ω（r_m）=0 或 Reω（r_m）=0 （1-16）

归纳起来，分岔点的充要条件是：

非线性岩土力学基础

非线性岩土力学基础

二、分岔类型

根据Jacobi矩阵特征值的取值情况，可以将分岔分为鞍-结分岔、叉型分岔和Hopf（霍夫）分岔。

1.鞍-结分岔

鞍-结分岔是指由鞍点分岔出结点，或由结点分岔出鞍点。由于结点的Jacobi矩阵的特征值是实数（Imω=0），而鞍点的实部Reω是一正一负。所以鞍-结分岔的Jacobi矩阵的特征值是沿复平面（Reω，Imω）的实轴两边穿过虚轴，如图1-3所示。

图1-3 鞍-结分岔

2.叉型分岔

叉型分岔指的是Jacobi矩阵的特征值沿复平面（Reω，Imω）的实轴穿过虚轴，如图1-4所示。

3.Hopf（霍夫）分岔

Hopf分岔是指Jacobi矩阵的特征值沿复平面（Reω，Imω）的上方或下方穿过虚轴的一类分岔。主要是指从焦点（参考态）分出新支，尤其是分出极限环的过程。关于极限环和Hopf（霍夫）分岔的基本理论在这里不再详细叙述，读者可查阅相关文献。

图1-4 叉型分岔