怎么证明dxdy=rdrdθ(极坐标换元)?

把极坐标x换成rcosθ ，y换成rsinθ。

在做积分的时候，对坐标的变换雅克比式J=Xr XθYr Yθ ，这是个行列式 = cosθ -rsinθsinθ，rcosθ = rcosθ²+rsinθ²=r。

x=rcosθ，y=rsinθ下，d(x,y)=|偏(x,y)/偏(r,θ)|drdθ，

|偏(x,y)/偏(r,θ)|= cosθ，-rsinθ =r 所以d(x,y)=rdrdθ。

相关介绍：

坐标是基本平面的要素，是由天球上某一选定的大圆所确定，大圆称为基圈，基圈的两个几何极之一，作为球面坐标系的极。用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。

极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海、航空以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。